Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Luyện tập trang 204 - 205

Cho hàm số f(x) = x³ − 3x² + 2. Hãy giải bất phương trình :

a) f'(x) > 0

b) f′(x) ≤ 3

Hướng dẫn giải:

Đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x

Câu a:

f′(x) > 0 <=> 3x² − 6x > 0 <=> x < 0 hoặc x > 2

Câu b:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) \le 3 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x \le 3\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 \le 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2  \le x \le 1 + \sqrt 2 
\end{array}\)

---

Tìm các nghiệm của phương trình sau (làm tròn kết quả nghiệm gần đúng đến hàng phần nghìn)

a) f′(x) = 0 với \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} - 6x - 1\)

b) f'(x) = -5 với \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - 3.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = {x^2} - 4x - 6\\
f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 6 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 - \sqrt {10}  \approx  - 1,162\\
x = 2 + \sqrt {10}  \approx 5,162
\end{array} \right.
\end{array}\)

Câu b: 

Ta có: \(f\prime  = {x^3} - 3{x^2} - 3x\). Do đó:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
f\prime  + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 3x + 5 = 0\\
 \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - 2x - 5) = 0
\end{array}\)

Phương trình có ba nghiệm là 1, \(1 + \sqrt 6 ,1 - \sqrt 6 \)

Vậy các nghiệm gần đúng của phương trình với sai số tuyệt đối không vượt quá 0,001 là :

x₁ = 1

x₂ = 3,449 ± 0,001

x₃ = −1,449 ± 0,001

---

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau

\(\begin{array}{l}
a)y = \frac{{2x + 3}}{{{x^2} - 5x + 5}}\\
b)y = \frac{1}{{{{({x^2} - x + 1)}^5}}}\\
c)y = {x^2} + x\sqrt x  + 1\\
d)y = (x + 1){(x + 2)^2}{(x + 3)^3}\\
e)y = \sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y\prime  = \frac{{2({x^2} - 5x + 5) - (2x + 3)(2x - 5)}}{{{{({x^2} - 5x + 5)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} - 6x + 25}}{{{{({x^2} - 5x + 5)}^2}}}\)

Câu b:

\(y\prime  = \frac{{ - 5({x^2} - x + 1)4(2x - 1)}}{{{{({x^2} - x + 1)}^{10}}}} = \frac{{ - 5(2x - 1)}}{{{{({x^2} - x + 1)}^6}}}\)

Câu c:

\(y\prime  = 2x + \sqrt x  + x.\frac{1}{{2\sqrt x }} = 2x + \frac{3}{2}\sqrt x \)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = {(x + 2)^2}{(x + 3)^2} + (x + 1).2(x + 2){(x + 3)^3} + (x + 1){(x + 2)^2}3{(x + 3)^2}\\
 = 2(x + 2){(x + 3)^2}(3{x^2} + 11x + 9)
\end{array}\)

Câu e:

\(y = \sqrt {x + \frac{1}{x}}  \Rightarrow y\prime  = \frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{2\sqrt {x + \frac{1}{x}} }} = \frac{{{x^2} - 1}}{{2{x^2}\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} }}\)

---

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\), biết hoành độ tiếp điểm là x₀ = 0

b) \(y = \sqrt {x + 2} \), biết tung độ tiếp điểm là y₀ = 2

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\\
{x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = f(0) =  - 1\\
f'\left( x \right) = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right|}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f\left( 0 \right) = 2
\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

\(y - ( - 1) = 2(x - 0) \Leftrightarrow y = 2x - 1\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} ;f({x_0}) = 2\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{x_0} + 2}  = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2\\
f\prime (x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} \Rightarrow f\prime (2) = \frac{1}{4}
\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y - 2 = \frac{1}{4}(x - 2) \Leftrightarrow y = \frac{{x + 6}}{4}\)

---

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = x², biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).

Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x₀ để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).

Hướng dẫn giải:

hương trình đường thẳng (d) đi qua A(0 ; -1) với hệ số góc k là: y = kx − 1

Để (d) tiếp xúc (P) tại điểm M₀ điều kiện cần và đủ là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
f({x_0}) = k{x_0} - 1\\
f\prime ({x_0}) = k
\end{array} \right.\,hay\,\left\{ \begin{array}{l}
x_0^2 = k{x_0} - 1\\
2{x_0} = k
\end{array} \right.\)

Khử x₀ từ hệ này ta tìm được k = ± 2

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(0 ; -1) với các phương trình là : y = ± 2x − 1

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5 Luyện tập trang 204 - 205 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!