Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Bài 2 Các quy tắc tính đạo hàm

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀ được cho kèm theo

a) \(y = 7 + x - {x^2},{x_0} = 1\)

b) \(y = {x^3} - 2x + 1,{x_0} = 2\)

c) \(y = 2{x^5} - 2x + 3,{x_0} = 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

y′ = 1 − 2x => y′(1) = −1

Câu b:

 y′ = 3x² − 2 => y′(2) = 10

Câu c:

y′ = 10x⁴ − 2 => y′(1) = 8

---

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số)

\(\begin{array}{l}
a)y = {x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x \\
b)y = \frac{1}{4} - 13x + {x^2} - 0,5{x^4}\\
c)y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - x + {a^3}\\
d)y = \frac{{ax + b}}{{a + b}}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y\prime  = 5{x^4} - 12{x^2} + 2 - \frac{3}{{2\sqrt x }}\)

Câu b:

\(y\prime  =  - \frac{1}{3} + 2x - 2{x^3}\)

Câu c:

\(y\prime  = {x^3} - {x^2} + x - 1\)

Câu d:

\(y = \frac{a}{{a + b}}\)

---

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :

\(\begin{array}{l}
a)y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}\\
b)y = ({x^2} + 1)(5 - 3{x^2})\\
c)y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\\
d)y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} + x + 1}}\\
e)y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\\
f)y = x(2x - 1)(3x + 2)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2} = {x^{14}} + 2{x^8} + {x^2} \Rightarrow y\prime  = 14{x^{13}} + 16{x^7} + 2x\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = ({x^2} + 1)\prime (5 - 3{x^2}) + ({x^2} + 1)(5 - 3{x^2})\prime \\
 = 2x(5 - 3{x^2}) - 6x({x^2} + 1) = 4x - 12{x^3}
\end{array}\)

Câu c:

\(y\prime  = \frac{{2({x^2} - 1) - 2x(2x)}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}} = \frac{{ - 2({x^2} + 1)}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}\)

Câu d:

\(y\prime  = \frac{{5({x^2} + x + 1) - (5x - 3)(2x + 1)}}{{{{({x^2} + x + 1)}^2}}} = \frac{{ - 5{x^2} + 6x + 8}}{{{{(x2 + x + 1)}^2}}}\)

Câu e:

\(y\prime  = \frac{{(2x + 2)(x + 1) - ({x^2} + 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

Câu f:

\(\begin{array}{l}
y = (2{x^2} - x)(3x + 2)\\
 \Rightarrow y\prime  = (4x - 1)(3x + 2) + {(2{x^2} - x)^3}\\
 = 18{x^2} + 2x - 2
\end{array}\)

---

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau

a) \(y = {(x - {x^2})^{32}}\)

b) \(y = \frac{1}{{x\sqrt x }}\)

c) \(y = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}\)

d) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) (a là hằng số)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y\prime  = 32{(x - x2)^{31}}(1 - 2x)\)

Câu b:

\(y\prime  =  - \frac{{(x\sqrt x )\prime }}{{{x^3}}} =  - \frac{{\sqrt x  + \frac{x}{{2\sqrt x }}}}{{{x^3}}} = \frac{{ - 3x}}{{2\sqrt x .{x^3}}} = \frac{{ - 3}}{{2{x^2}\sqrt x }}\)

Câu c:

\(y\prime  = \frac{{\sqrt {1 - x}  - (1 + x).\frac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}} = \frac{{2(1 - x) + 1 + x}}{{2\sqrt {{{(1 - x)}^3}} }} = \frac{{3 - x}}{{2\sqrt {{{(1 - x)}^3}} }}\)

Câu d:

\(y\prime  = \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}}  - x.\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{(\sqrt {{a^2} - {x^2}} )}^2}}} = \frac{{2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) + 2{x^2}}}{{2{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^3}}} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}^3}} }}\)

---

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x} \) . Hãy giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le f\left( x \right)\)

Hướng dẫn giải:

Vì \(f'\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\) nên ta cần giải bpt \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} \le \sqrt {{x^2} - 2x} \)

Ta có: 

\(\frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} \le \sqrt {{x^2} - 2x} \)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0,x > 2\\
x - 1 \le {x^2} - 2x
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < 0,x > 2\\
x \le \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};x \ge \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(( - \infty ;0) \cup \left[ {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5 Bài 2 Các quy tắc tính đạo hàm được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!