Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Bài 5 Đạo hàm cấp cao

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo.

\(\begin{array}{l}
a)f\left( x \right) = {x^4} - \cos 2x,{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)\\
b)f\left( x \right) = {\cos ^2}x,{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)\\
c)f\left( x \right) = {\left( {x + 10} \right)^6},{f^{\left( n \right)}}\left( x \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = 4{x^3} + 2sin2x\\
f(x) = 12{x^2} + 4cos2x\\
{f^{(3)}}(x) = 24x - 8sin2x\\
{f^{(4)}}(x) = 24 - 16cos2x
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = 2cosx( - sinx) =  - sin2x\\
f(x) =  - 2cos2x\\
{f^{(3)}}(x) = 4sin2x\\
{f^{(4)}}(x) = 8cos2x\\
{f^{(5)}}(x) =  - 16sin2x
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = 6{(x + 10)^5}\\
f(x) = 30{(x + 10)^4}\\
{f^{(3)}}(x) = 120{(x + 10)^3}\\
{f^{(4)}}(x) = 360{(x + 10)^2}\\
{f^{(5)}}(x) = 720(x + 10)\\
{f^{(6)}}(x) = 720\\
{f^{(n)}}(x) = 0,\forall n \ge 7
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có:

a) Nếu \(f(x) = \frac{1}{x}\) thì \({f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)

b) Nếu f(x) = cosx thì \({f^{(4n)}}(x) = cosx.\)

c) Nếu f(x) = sinax (a là hằng số) thì  \({f^{(4n)}}(x) = {a^{4n}}sinax\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Cho \(f(x) = \frac{1}{x}(x \ne 0)\)., Ta chứng minh:

\({f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}(\forall x \ge 1)\) bằng phương pháp qui nạp

- Với n = 1, ta có: \({f^{(n)}}(x) = f\prime (x) =  - \frac{1}{{{x^2}}}và \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} =  - \frac{1}{{{x^2}}}\)

Suy ra (1) đúng khi n = 1.

-  Giả sử (1) đúng cho trường hợp n = k(k ≥ 1), tức là: \({f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\)

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là:

\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)

Thật vậy, ta có:

\({f^{(k + 1)}}(x) = [{f^{(k)}}(x)]\prime  =  - \frac{{{{( - 1)}^k}k!.(k + 1){x^k}}}{{{x^{2(k + 1)}}}} = \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)

Câu b:

Cho f(x) = cosxx. Chứng minh công thức :

\({f^{(4n)}}(x) = cosx(\forall n \ge 1)(2)\) bằng phương pháp qui nạp:

Ta có: f′(x) = −sinx; f"(x) = −cosx

\(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)

+ Với n = 1 thì f⁽⁴ⁿ⁾(x) = f⁽⁴⁾(x) = cosx

Suy ra (2) đúng khi n = 1

+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp n = k (k ≥ 1), tức là :  f^(4k) (x) = cosx,

Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là phải chứng minh ::

\({f^{(4(k + 1))}}(x) = cosx(hay\,{f^{(4k + 4)}}(x) = cosx)\)

Thật vậy,

\(\begin{array}{l}
{f^{(4k)}}(x) = cosx \Rightarrow {f^{(4k + 1)}}(x) =  - sinx\\
{f^{(4k + 2)}}(x) =  - cosx\\
{f^{(4k + 3)}}(x) = sinx\\
{f^{(4k + 4)}}(x) = cosx
\end{array}\)

Câu c:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = acosax\\
f(x) =  - {a^2}sinax\\
{f^{(3)}}(x) =  - {a^3}cosax\\
{f^{(4)}}(x) = {a^4}sinax
\end{array}\)

Với n = 1 ta có f⁽⁴⁾(x) = a⁴sinax,, đẳng thức đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức đúng với n = k tức là :  f^(4k)(x) = a^4ksinax

Với n = k + 1 ta có \({f^{(4k + 4)}}(x) = {({f^{(4k)}})^{(4)}}(x) = {({a^{4k}}sinax)^{(4)}}\)

Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)

\(\begin{array}{l}
{f^{(4k + 1)}}(x) = {a^{4k + 1}}cosax\\
{f^{(4k + 2)}}(x) =  - {a^{4k + 2}}sinax\\
{f^{(4k + 3)}}(x) =  - {a^{4k + 3}}cosax\\
{f^{(4k + 4)}}(x) = {a^{4k + 4}}sinax
\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1, do đó đẳng thức đúng với mọi n

---

Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t², trong đó t > 0, t tính bằng giây (s) và v(t) tính bằng mét/giây (m/s). Tìm gia tốc của chất điểm

a. Tại thời điểm t = 4

b. Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11.

Hướng dẫn giải:

Ta có: a(t) = v’(t) = 8 + 6t

Câu a:

Khi t = 4s thì a(4) = 32 m/s²

Câu b:

Khi v(t) = 11 m/s thì ta được :

\(8t + 3{t^2} = 11 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t =  - \frac{{11}}{3}(L)
\end{array} \right.\)

Với t = 1s thì a(1) = 14 m/s²

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5 Bài 5 Đạo hàm cấp cao được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!