Đề thi Olympic Toán quốc tế (IMO) năm 2022

1. Bản tiếng Việt

Bài 1. Ngân hàng Oslo phát hành hai loại đồng xu đồng vàng (kí hiệu bởi A) và đồng bạc (kí hiệu bởi B). Mai có n đồng vàng và n đồng bạc, các đồng xu được xếp thành một hàng theo thứ tự bất kì. Một dãy con gồm các đồng xu liên tiếp thuộc cùng một loại được gọi là một chuỗi. Với số nguyên dương cố định \(k\le 2n\), Mai thực hiện liên tiếp các bước chuyển như sau: cô ta xác định chuỗi dài nhất có chứa đồng xu thứ k từ bên trái và chuyển tất cả các đồng xu của chuỗi này về phía trái của hàng. Ví dụ, nếu n = 4 và k = 4, bắt đầu với cách xếp AABBBABA, quá trình thực hiện các bước chuyển như sau:

\(AAB\underline B BABA \to BBB\underline A AABA \to AAA\underline B BBBA \to BBB\underline B AAAA \to BBB\underline B AAAA \to ...\)

Xác định tất cả các cặp (n, k) với \(1\le k\le 2n\) sao cho với mọi cách sắp xếp ban đầu, đến một lúc nào đó trong quá trình thực hiện các bước chuyển, n đồng xu ở bên trái của hàng sẽ thuộc cùng một loại.

Bài 2. Gọi \({{R}^{+}}\) là tập các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số \(f:{{R}^{+}}\to {{R}^{+}}\) sao cho với mọi \(x\in {{R}^{+}}\) có đúng một giá trị \(y\in {{R}^{+}}\) thoả mãn

\(xf\left( y \right)+yf\left( x \right)\le 2\)

Bài 3. Cho k là một số nguyên dương và S là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Mi muốn xếp các phần tử của S quanh một vòng tròn sao cho tích của hai số cạnh nhau bất kì có thể biểu diễn được dưới dạng \({{x}^{2}}+x+k\) với \(x\) nguyên dương nào đó. Biết rằng, hai cách xếp nhận được từ nhau qua phép quay và phép phản chiếu (đối xứng trục) được coi là như nhau. Chứng minh rằng Mi có nhiều nhất một cách xếp như vậy.

Bài 4. Cho ngũ giác lồi ABCDE với BC = DE. Giả sử rằng có một điểm T nằm trong ABCDE sao cho TB = TD, TC = TE và \(\angle ABT\text{ }=\text{ }\angle TEA\). Đường thẳng AB cắt các đường thẳng CD và CT lần lượt tại các điểm P và Q, trong đó các điểm P, B, A, Q Tìm theo thứ tự trên đường thẳng. Đường thẳng AE cắt các đường thẳng CD và DT lần lượt tại các điểm R và S, trong đó các điểm R, E, A, S nằm theo thứ tự trên đường thẳng. Chứng minh rằng các điểm P, S, Q, R nằm trên một đường tròn.

Bài 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a, b, p) với 2 nguyên tố và

\({{a}^{p}}=b!+p.\)

Bài 6. Cho số nguyên dương m. Một cao nguyên Nordic là một bảng \(n\times n\) chứa tất cả các số nguyên từ 1 đến \({{n}^{2}}\) sao cho mỗi ô vuông chứa đúng một số. Hai ô vuông được gọi là kể nhau nếu chúng có một cạnh chung. Ở vuông chỉ kề với các ô vuông chứa sổ lớn hơn số nằm trong nó được gọi là một thung lũng. Một con đường dốc là một dãy các ô vuông (có thể chỉ gồm một ô) thoả mãn đồng thời các điều kiện:

(i) Ô vuông đầu tiên trong dãy là một thung lũng,

(ii) mỗi ô vuông tiếp theo trong dãy kề với ô vuông đứng trước nó,

(iii) các số được viết trên các ô vuông trong dãy có giá trị tăng dần.

Như là một hàm số của n, xác định giá trị nhỏ nhất có thể của số con đường dốc trong một cao nguyên Nordic.

2. Bản tiếng Anh

Problem 1. The Bank of Oslo issues two types of coin: aluminium (denoted A) and bronze (denoted B). Marianne has n aluminium coins and n bronze coins, arranged in a row in some arbitrary initial order. A chain is any subsequence of consecutive coins of the same type. Given a fixed positive integer \(k\le 2n\), Marianne repeatedly performs the following operation: she identifies the longest chain containing the kth coin from the left, and moves all coins in that chain to the left end of the row. For example, if n = 4 and k = 4, the process starting from the ordering AABBBABA would be

\(AAB\underline B BABA \to BBB\underline A AABA \to AAA\underline B BBBA \to BBB\underline B AAAA \to BBB\underline B AAAA \to ...\)

Find all pairs (n, k) with \(1\le k\le 2n\) such that for every initial ordering, at some moment during the process, the leftmost n coins will all be of the same type.

Problem 2. Let \({{R}^{+}}\) denote the set of positive real numbers. Find all functions \(f:{{R}^{+}}\to {{R}^{+}}\) such that for each \(x\in {{R}^{+}}\), there is exactly one \(y\in {{R}^{+}}\) satisfying

\(xf\left( y \right)+yf\left( x \right)\le 2\)

Problem 3. Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and reflection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form \({{x}^{2}}+x+k\) for some positive integer \(x\).

Problem 4. Let ABCDE be a convex pentagon such that BC = DE. Assume that there is a point T inside ABCDE with TB = TD, TC = TE and \(\angle ABT\text{ }=\text{ }\angle TEA\). Let line AB intersect lines CD and CT at points P and Q, respectively. Assume that the points P, B, A, Q occur on their line in that order. Let line AE intersect lines CD and DT at points R and S, respectively. Assume that the points R, E, A, S occur on their line in that order. Prove that the points P, S, Q, R lie on a circle.

Problem 5. Find all triples (a, b,p) of positive integers with p prime and

\({{a}^{p}}=b!+p.\)

Problem 6. Let n be a positive integer. A Nordic square is an \(n\times n\) board containing all the integers from 1 to \({{n}^{2}}\) so that each cell contains exactly one number. Two different cells are considered adjacent if they share a common side. Every cell that is adjacent only to cells containing larger numbers is called a valley. An uphill path is a sequence of one or more cells such that:

(i) the first cell in the sequence is a valley,

(ii) each subsequent cell in the sequence is adjacent to the previous cell, and

(iii) the numbers written in the cells in the sequence are in increasing order.

Find, as a function of n, the smallest possible total number of uphill paths in a Nordic square.

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Đề thi Olympic Toán quốc tế (IMO) năm 2022. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập. Chúc các em học tập tốt !