Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 7 Phương trình mũ và Logarit

Giải các phương trình sau:

$\begin{array}{l} a){(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 - \sqrt 3 \\ b){2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4\\ c){2.3^{x + 1}} - {6.3^{x - 1}} - {3^x} = 9\\ d)lo{g_3}({3^x} + 8) = 2 + x. \end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1$ nên $2 - \sqrt 3  = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}$

Do ${(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = 2 - \sqrt 3  \Leftrightarrow {(2 + \sqrt 3 )^{2x}} = {(2 + \sqrt 3 )^{ - 1}} \Leftrightarrow 2x =  - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}$

Vậy tập nghiệm phương trình $S = \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$

Câu b:

$\begin{array}{l} {2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x + 2}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy S = {0; 3}

Câu c:

$\begin{array}{l} {2.3^{x + 1}} - {6.3^{x - 1}} - {3^x} = 9 \Leftrightarrow {6.3^x} - \frac{6}{3}{.3^x} - {3^x} = 9\\  \Leftrightarrow {3.3^x} = 9 \Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1 \end{array}$

Vậy S = {1}

Câu d:

$\begin{array}{l} lo{g_3}({3^x} + 8) = 2 + x \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {3^{2 + x}}\\  \Leftrightarrow {3^x} + 8 = {9.3^x} \Leftrightarrow {8.3^x} = 8 \Leftrightarrow {3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}$

Vậy S = {0}

---

Giải các phương trình sau: 

a) $lo{g_2}[x(x - 1)] = 1$

b) $lo{g_2}x + lo{g_2}(x - 1) = 1$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện x(x - 1) > 0

$\begin{array}{l} lo{g_2}[x(x - 1)] = 1 \Leftrightarrow x(x - 1) = 2\\  \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =  - 1\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy S = {-1; 2}

Câu b:

Điều kiện: x > 1

$\begin{array}{l} lo{g_2}x + lo{g_2}(x - 1) = 1 \Leftrightarrow lo{g_2}[x(x - 1)] = 1\\  \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =  - 1\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vạy S = {2}

---

Trên mặt mỗi chiếc radio đều có các vạch chia để người sử dụng dẽ dàng chọn đúng sóng 
Radio cần tìm. Biết rằng vạch chia ở vị trí cách vạch tận cùng bên trái một khoảng d (cm) thì ứng tần số F = kad  (kHz), trong đó k và a là hai hằng số được chọn sao cho vạch tận cùng trên trái ứng với tần số 53 kHz, vạch tận cùng bên phải ứng với tần số 160 kHz, và hai vạch này cách nhau 12 cm.

a) Hãy tính k và a (tính a chính xác đến hàng phần nghìn).
b) Giả sử đã cho F, hãy giải phương trình F=kad với ẩn d.
c) Áp dụng kết quả của b), hãy điền vào ô trống trong bảng sau (kết quả tính chính xác đến hàng phần trăm).

F	53	60	80	100	120	140	160
d

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có với d = 0 thì F = 53 do đó 53=k.a0 =>k = 53

Với d = 12 thì F =160 đo đó $160 = k.{a^{12}} = 53.{a^{12}} \Rightarrow a = \sqrt[{12}]{{\frac{{160}}{{53}}}} \approx 1,096$

Câu b:

$k{a^d} = F \Leftrightarrow {a^d} = \frac{F}{k} \Leftrightarrow d = lo{g_a}(logF - logk) \approx 25,119logF - 43,312$

Câu c:

F	53	60	80	100	120	140	160
d	0	1,53	4,49	6,93	8,91	10,60	12

 

---

Giải các phương trình sau:

a) ${2^{x + 1}}{.5^x} = 200$

b) $0,{125.4^{2x - 3}} = {(4\sqrt 2 )^x}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

${2^{x + 1}}{.5^x} = 200 \Leftrightarrow {2.2^x}{.5^x} = 200 \Leftrightarrow {10^x} = 100 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy S = {2}

Câu b:

$\begin{array}{l} 0,{125.4^{2x - 3}} = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^x} \Leftrightarrow \frac{1}{8}{.2^{2(2x - 3)}} = {\left( {{2^{\frac{5}{2}}}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{4x - 6 - 3}} = {2^{\frac{{5x}}{2}}}\\  \Leftrightarrow 4x - 9 = \frac{{5x}}{2} \Leftrightarrow 3x = 18 \Leftrightarrow x = 6 \end{array}$

Vậy S = {6}

---

Giải các phương trình sau:

a) ${\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt 3$

b) $lo{g_{\sqrt 3 }}x.lo{g_3}x.lo{g_9}x = 8$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện: x > 0

$\begin{array}{l} {\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt 3  \Leftrightarrow lo{g_2}x + lo{g_{{2^2}}}x = lo{g_{{2^{ - 1}}}}\sqrt 3 \\  \Leftrightarrow lo{g_2}x + \frac{1}{2}lo{g_2}x =  - lo{g_2}\sqrt 3  \Leftrightarrow \frac{3}{2}lo{g_2}x = lo{g_2}\frac{1}{{\sqrt 3 }}\\  \Leftrightarrow lo{g_2}x = lo{g_2}{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{2}{3}}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}} \end{array}$

Vậy $S = \left\{ {\frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}} \right\}$

Câu b:

Điều kiện: x > 0

$\begin{array}{l} lo{g_{\sqrt 3 }}x.lo{g_3}x.lo{g_9}x = 8 \Leftrightarrow lo{g_{{3^{\frac{1}{2}}}}}x.lo{g_3}x.lo{g_{{3^2}}}x = 8\\  \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{1}{2}}}.\frac{1}{2}.{(lo{g_3}x)^3} = 8 \Leftrightarrow lo{g_3}x = 2 \Leftrightarrow x = {3^2} = 9 \end{array}$

Vậy S = {9}

---

Giải các phương trình sau:

a) ${3^{x + 1}} + {18.3^{ - x}} = 29$

b) ${27^x} + {12^x} = {2.8^x}$

(Hướng dẫn: Chia cả hai vế cho 2^3x rồi đặt $t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}$)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt t = 3^x (t > 0)
Phương trình đã cho trở thành:

$\begin{array}{l} 3t + \frac{{18}}{t} = 29 \Leftrightarrow 3{t^2} - 29t + 18 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 9\\ t = \frac{2}{3} \end{array} \right.\\  * t = 9 \Leftrightarrow {3^x} = 9 \Leftrightarrow x = 2\\  * t = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {3^x} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = lo{g_3}\frac{2}{3} = lo{g_3}2 - 1 \end{array}$

Vậy $S = \left\{ {2;lo{g_3}2 - 1} \right\}$

Câu b:

Chia cả hai vế cho 23x ta được $\frac{{{3^{3x}}}}{{{2^{3x}}}} + \frac{{{{12}^x}}}{{{8^x}}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{3x}} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = 2$

Đặt $t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}$, (t > 0) ta có:

${t^3} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$

Vậy S = {0}

---

Giải các phương trình sau:

$\begin{array}{l} a)lo{g^2}{x^3} - 20log\sqrt x  + 1 = 0\\ b)\frac{{lo{g_2}x}}{{lo{g_4}2x}} = \frac{{lo{g_8}4x}}{{lo{g_{16}}8x}}\\ c)lo{g_{9x}}27 - lo{g_{3x}}243 = 0 \end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện x > 0

$\begin{array}{l} lo{g^2}{x^3} - 20log\sqrt x  + 1 = 0 \Leftrightarrow {(3logx)^2} - 10logx + 1 = 0\\  \Leftrightarrow 9lo{g^2}x - 10logx + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} logx = 1\\ logx = \frac{1}{9} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 10\\ x = {10^{\frac{1}{9}}} = \sqrt[9]{{10}} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $= \left\{ {10;\sqrt[9]{{10}}} \right\}$

Câu b:

$\frac{{lo{g_2}x}}{{lo{g_4}2x}} = \frac{{lo{g_8}4x}}{{lo{g_{16}}8x}}$ (1)

Điều kiện: $x > 0,x \ne \frac{1}{2},x \ne \frac{1}{8}$

Ta có: 

$\begin{array}{l} lo{g_4}2x = \frac{{lo{g_2}2x}}{{lo{g_2}4}} = \frac{{1 + lo{g_2}x}}{2}\\ lo{g_8}4x = \frac{{lo{g_2}4x}}{{lo{g_2}8}} = \frac{{2 + lo{g_2}x}}{3}\\ lo{g_{16}}8x = \frac{{lo{g_2}8x}}{{lo{g_2}16}} = \frac{{3 + lo{g_2}x}}{4} \end{array}$

Đặt $t = {\log _2}x$ thì (1) thành $\frac{{2t}}{{1 + t}} = \frac{{4(2 + t)}}{{3(3 + t)}} \Leftrightarrow 6t(3 + t) = 4(1 + t)(2 + t)$

$\begin{array}{l}  \Leftrightarrow 18t + 6{t^2} = 8 + 12t + 4{t^2} \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t =  - 4 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _2}x =  - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = {2^{ - 4}} = \frac{1}{{16}} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy S = {2; 1/16}

Câu c:

Điều kiện: $x > 0,x \ne \frac{1}{9},x \ne \frac{1}{3}$

Ta có: $lo{g_{9x}}27 - lo{g_{3x}}3 + lo{g_9}243 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{lo{g_{27}}9x}} - \frac{1}{{lo{g_3}3x}} + lo{g_{{3^2}}}{3^5} = 0$

$\begin{array}{l}  \Leftrightarrow \frac{1}{{lo{g_{{3^3}}}9x}} - \frac{1}{{1 + lo{g_3}x}} + \frac{5}{2} = 0\\  \Leftrightarrow \frac{3}{{lo{g_3}9x}} - \frac{1}{{1 + lo{g_3}x}} + \frac{5}{2} = 0\\  \Leftrightarrow \frac{3}{{2 + lo{g_3}x}} - \frac{1}{{1 + lo{g_3}x}} + \frac{5}{2} = 0 \end{array}$

Đặt log₃ x = t

Ta có phương trình $\frac{3}{{t + 2}} - \frac{1}{{t + 1}} + \frac{5}{2} = 0$

$\begin{array}{l}  \Leftrightarrow 6(t + 1) - 2(t + 2) + 5(t + 2)(t + 1) = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t =  - 0,8\\ t =  - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} lo{g_3}x =  - 0,8\\ lo{g_3}x =  - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {3^{ - 0,8}}\\ x = {3^{ - 3}} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $S = \left\{ {{3^{ - 3}};{3^{ - 0,8}}} \right\}$

---

Giải các phương trình sau:

$\begin{array}{*{20}{l}} {a){3^{4x}} = {4^{3x}}}\\ {b){3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x}\\ {c){3^x}{{.8}^{\frac{x}{{x + 1}}}} = 36}\\ {d){x^6}{{.5}^{ - {{\log }_x}5}} = {5^{ - 5}}} \end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l} {3^{4x}} = {4^{3x}} \Leftrightarrow {4^x}lo{g_3}3 = {3^x}lo{g_3}4 \Leftrightarrow \frac{{{4^x}}}{{{3^x}}} = lo{g_3}4\\  \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = lo{g_3}4 \Leftrightarrow x = lo{g_{\frac{4}{3}}}(lo{g_3}4) \end{array}$

Vậy $S = \left\{ {lo{g_{\frac{4}{3}}}(lo{g_3}4)} \right\}$

Câu b:

Điều kiện x > 0

$\begin{array}{*{20}{l}} {{3^{2 - {{\log }_3}x}} = 81x \Leftrightarrow \frac{{{3^2}}}{{{3^{lo{g_3}x}}}} = 81x}\\ \begin{array}{l}  \Leftrightarrow \frac{9}{x} = 81x \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{8}\\  \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\left( {x > 0} \right) \end{array} \end{array}$

Vậy S = {1/3}

Câu c:

 Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:

$\begin{array}{l} xlo{g_3}3 + \frac{x}{{x + 1}}lo{g_3}8 = x + \frac{{3x}}{{x + 1}}lo{g_3}2 = 2 + 2.lo{g_3}2\\  \Leftrightarrow {x^2} + x + 3(lo{g_3}2)x = 2x + 2 + 2(x + 1)(lo{g_3}2)\\  \Leftrightarrow {x^2} + (lo{g_3}2 - 1)x - 2.lo{g_3}2 - 2 = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x =  - 1 - {\log _3}2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $S = \left\{ {2; - 1 - {{\log }_3}2} \right\}$

Câu d:

Điều kiện x > 0

Lấy logarit cơ số x hai vế ta được:

$\begin{array}{l} 6 + ( - lo{g_x}5).lo{g_x}5 =  - 5lo{g_x}5\\  \Leftrightarrow \log _x^25 - 5lo{g_x}5 - 6 = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} lo{g_x}5 =  - 1\\ lo{g_x}5 = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5 = {x^{ - 1}}\\ 5 = {x^6} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{5}\\ x = \sqrt[6]{5} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $S = \left\{ {\frac{1}{5};\sqrt[6]{5}} \right\}$

---

Giải các phương trình sau:

a) 2^x = 3 - x

b) log₂x = 3 - x

Hướng dẫn giải:

Câu a:

x = 1 là nghiệm phương trình

Với x < 1 ta có 2^x < 2 < 3 nên phương trình không có nghiệm x < 1

Tương tự với x > 1 ta có 2x >2 > 3 - x nên phương trình không có nghiệm x > 1.

Vậy S = {1}

Câu b:

Điệu kiện: x > 0.

Rõ ràng x = 2 là nghiệm phương trình

Với x > 2 thì log₂x > 1 > 3 − x nên phương trình không có nghiệm $x \in (2; + \infty )$

Với x < 2  thì log2x < 1 < 3 − x nên phương trình không có nghiệm(x \in ( - \infty ;2)\)

Vậy S = {2}

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 7 Phương trình mũ và Logarit được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!