YOMEDIA

Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 5 Luyện tập trang 219

 
NONE

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 nâng cao Chương 5 Luyện tập trang 219 được hoc247 biên soạn và tổng hợp, nội dung bám sát theo chương trình SGK Toán 11 nâng cao giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn tập kiến thức hiệu quả hơn. 

ADSENSE

Bài 45 trang 219 SGK Toán 11 nâng cao

Tìm vi phân của mỗi hàm số sau 

\(\begin{array}{l}
a)y = {\tan ^2}3x - \cot 3{x^2}\\
b)y = \sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = 2tan3x.3(1 + ta{n^2}3x) + 6x(1 + co{t^2}3{x^2})\\
 \Rightarrow dy = y\prime dx = [6tan3x(1 + ta{n^2}3x) + 6x(1 + co{t^2}3{x^2})]dx
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = \frac{{2cos2x.( - 2sin2x)}}{{2.\sqrt {co{s^2}2x + 1} }} = \frac{{ - sin4x}}{{\sqrt {co{s^2}2x + 1} }}\\
 \Rightarrow dy = y\prime dx =  - \frac{{sin4x}}{{\sqrt {co{s^2}2x + 1} }}dx
\end{array}\)


Bài 46 trang 219 SGK Toán 11 nâng cao

Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) :

a) \(\frac{1}{{\sqrt {20,3} }}\)

b) tan 29030'

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vì \(\frac{1}{{\sqrt {20,3} }} = \frac{1}{{\sqrt {20,25 + 0,05} }}\) nên ta xét hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt x }}\) tại 

x0 = 20,25

Với Δx = 0,05. Ta có :

\(\begin{array}{l}
f({x_0}) = \frac{1}{{\sqrt {20,25} }} = 14,5\\
f\prime ({x_0}) = \frac{{ - 1}}{{2.20,25.\sqrt {20,25} }} =  - \frac{1}{{182,25}}
\end{array}\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{\sqrt {20,3} }} = f(20,3) = f({x_0} + 0,05)\\
 = f({x_0}) + f\prime ({x_0}).0,05 = \frac{1}{{4,5}} - \frac{{0,05}}{{182,25}} \approx 0,222
\end{array}\)

Câu b:

Vì \(tan{29^0}30\prime  = tan\left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{360}}} \right)\) nên ta xét hàm số f(x) = tanx tại \({x_0} = \frac{\pi }{6}\)

Với \(\Delta x = \frac{{ - \pi }}{{360}}\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
f({x_0}) = tan\frac{\pi }{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\
f\prime ({x_0}) = 1 + ta{n^2}\frac{\pi }{6} = \frac{4}{3}.
\end{array}\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l}
tan\left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx f({x_0}) + f\prime ({x_0})\Delta x\\
 = \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{4}{3}\left( { - \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx 0,566
\end{array}\)


Bài 47 trang 219 SGK Toán 11 nâng cao

a. Cho hàm số f(x) = tanx. Tính f(n)(x) với n = 1, 2, 3.

b. Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{(4n)}}(x) =  - {2^{4n - 1}}cos2x\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = 1 + tan2x\\
f(x) = 2tanx.(1 + ta{n^2}x)\\
{f^{(3)}}(x) = 2{(1 + ta{n^2}x)^2} + 4ta{n^2}x(1 + ta{n^2}x)
\end{array}\)

Câu b:

\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)

Với n = 1 ta có:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = sin2x\\
f(x) = 2cos2x\\
{f^{(3)}}(x) =  - 4sin2x\\
{f^{(4)}}(x) =  - 8cos2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là : \({f^{(4k)}}(x) =  - {2^{4k - 1}}cos2x\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\begin{array}{l}
{f^{(4k + 1)}}(x) = ({f^{(4k)}}(x))\prime  = {2^{4k}}sin2x\\
{f^{(4k + 2)}}(x) = {2^{4k + 1}}cos2x\\
{f^{(4k + 3)}}(x) =  - {2^{4k + 2}}sin2x\\
{f^{(4k + 4)}}(x) =  - {2^{4k + 3}}cos2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.


Bài 48 trang 219 SGK Toán 11 nâng cao

Chứng minh:

a. Nếu \(y = Asin(\omega t + \varphi ) + Bcos(\omega t + \varphi )\), trong đó A, B, ω và φ là những hằng số, thì  y"+ω2y=0.

b. Nếu \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) thì \({y^3}y + 1 = 0.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
y = Asin(\omega t + \varphi ) + Bcos(\omega t + \varphi )\\
y\prime  = A\omega cos(\omega t + \varphi ) - B\omega sin(\omega t + \varphi )\\
y =  - A{\omega ^2}sin(\omega t + \varphi ) - B\omega 2cos(\omega t + \varphi )\\
 \Rightarrow y + {\omega ^2}y =  - [A{\omega ^2}sin(\omega t + \varphi ) + B{\omega ^2}cos(\omega t + \varphi )] + {\omega ^2}[Asin(\omega t + \varphi ) + Bcos(\omega t + \varphi )] = 0
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\\
y'' = \frac{{ - \sqrt {2x - {x^2}}  - \left( {1 - x} \right).\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{\left( {2x - {x^2}} \right)}}\\
 = \frac{{ - 2x + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }}\\
 \Rightarrow {y^3}.y'' + 1 = \sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} .\frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} + 1 = 0
\end{array}\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 5 Luyện tập trang 219 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!

 

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF