Hỏi đáp về Chương 3 Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng

Tính nguyên hàm sau: \(\displaystyle  \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\), đặt \(\displaystyle  u = {e^{2x}} + 1\).

Tính nguyên hàm sau: \(\displaystyle  \int {(2x - 3)\sqrt {x - 3} dx} \), đặt \(\displaystyle  u = \sqrt {x - 3} \).

\(\left( A \right)\,{4 \over 3}\)             

\(\left( B \right)\,{3 \over 2}\)

\(\left( C \right)\,{5 \over 3}\)                 

\(\left( D \right)\,{{23} \over {15}}\)

(A) \(4\)                      

(B) \(5\)

(C) \(3\)                       

(D) \(3,5\)

\(\left( A \right)\, - {7 \over {10}};\)                 

\(\left( B \right)\, - {6 \over {10}};\)

\(\left( C \right)\,{2 \over {15}};\)                       

\(\left( D \right)\,{1 \over {60}}.\)

\(\left( A \right)\,{e^4}\);               

\(\left( B \right)\,{e^4} - 1;\)

\(\left( C \right)\,4{e^4};\)               

\(\left( D \right)\,3{e^4} - 1;\)

(A) \(9\);                     

(B) \(3\);

(C) \(81\);                   

(D) \(8\).

Hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \(y = {x^{{1 \over 2}}}{e^{{x \over 2}}}\) và các đường thẳng \(x = 1,x = 2,y = 0.\) Tính thể tích khối tròn  xoay tạo thành khi quay A quanh trục hoành. 

Hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \(x\left( {y + 1} \right) = 2\) và các đường thẳng \(x = 0,y = 0,y = 3.\)  tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục tung.

Hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm số : \(y = \sqrt {\cos x} \left( {0 \le x \le {\pi  \over 2}} \right)\,\) và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay tọa thành khi quay hình đó quay trục tung.

Xét hình phẳng giới hạn bởi đường hypebol \(y = {2 \over x}\) và các đường thẳng \(y=1\) , \(y = 4,x = 0.\) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục tung.

Hãy tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=2\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bơi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(\left( {0 \le x \le 2} \right)\) là một nửa hình tròn đường kính \(\sqrt 5 {x^2}\).

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: Các đường cong có phương trình \(x = 4 - 4{y^2}\) và \(x = 1 - {y^4}\) trong miền \(x\ge0\).

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị các hàm số \(y = 4 - {x^2},y =  - x + 2;\)

Tính tích phân sau: \(\int\limits_2^3 {\left( {x - 1} \right)} {e^{{x^2} - 2x}}dx.\)

Tính tích phân sau: \(\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)} dx;\)

Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx;} \)

Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A. 

Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi \(t=0\) (s) chuyển động thẳng với vận tốc \(v\left( t \right) = t\left( {5 - t} \right)\,\,\,\left( {m/s} \right)\). Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.

Hàm số f liên tục trên \(\left[ {a;b} \right].\) Tỉ số : \({1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\) và được kí hiệu là \(m\left( f \right)\). Chứng minh rằng tồn tại điểm \(c \in \left[ {a;b} \right]\) sao cho \(m\left( f \right) = f\left( c \right)\)

Hãy tìm: \(\int\limits_1^7 {f\left( x \right)} dx;\) 

Hãy tìm: \(\int\limits_7^9 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx;} \)

Hãy tìm: \(\int\limits_7^9 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx;\) 

Hãy tìm: \(\int\limits_1^9 { - 2f\left( x \right)} dx;\)