Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số

Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân P_n (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức Pn =500(1+0,02)ⁿ. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người

Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng u_n của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Xét dãy số (u_n) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: 5; 10; 15; 20; 25; 30; ...

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n - 1 của dãy số

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n=n!

b) Viết năm số hạng đầu của dãy Fibonacci (Fn) cho bởi hệ thức truy hồi 

\(\left\{ \begin{array}{l} {F_1} = 1,{F_2} = 1\\ {F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}} \end{array} \right.(n \ge 3)\)

a) Xét dãy số (u_n) với u_n=3n−1. Tính u_n+1 và so sánh với u_n

b) Xét dãy số (v_n) với v_n=\(\frac{1}{{{n^2}}}\). Tính v_n+1 và so sánh với v_n

Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), với \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\)

Cho dãy số \({u_n}\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n}\),∀n∈N*

a) So sánh u_n và 1

b) So sánh u_n và 2

Xét tính bị chặn của dãy số (\({u_n}\)), với \({u_n}\)=2n−1

Anh Thanh vừa được tuyển vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi s_n (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có: s₁=200,s_n=s_n−1+25 với n≥2.

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh (s_n) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (\({u_n}\)) có số hạng tổng quát cho bởi

a) u_n=3n−2

b) u_n=3x2ⁿ

c) u_n=(1+1/n)ⁿ

Dãy số (\({u_n}\)) cho bởi hệ thức truy hồi u₁=1, u_n=nu_n−1 với n≥2

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n

Xét tính tăng, giảm của dãy số (\({u_n}\)), biết:

a) u_n=2n−1

b) u_n=−3n+2

c) \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{2^n}}}\)

Trong các dãy số (\({u_n}\)) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n=n−1

b) u_n=\(\frac{{n + 1}}{{n + 2}}\)

c) u_n=sin n

d) u_n=(−1)ⁿ⁻¹n²

Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3

b) Khi chia cho 4 dư 1

Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức.

A_n=100(1+0.06/12)ⁿ

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm

Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0.8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi A_n (n∈N) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng

a) Tìm lần lượt A₀,A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆ để tính ra số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (A_n)

Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau:

a) \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}.\frac{n}{{2n - 1}}\);

b) \({u_1} = 1;{u_n} = n - {u_{n - 1}}\left( {n \ge 2} \right)\);

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:

a) \({u_n} = {n^2} + n + 1;\)

b) \({u_n} = \frac{{2n + 5}}{{n + 2}};\)

c) \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^2} + 1}}\).

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) \({u_n} = \frac{n}{{2n + 1}};\)

b) \({u_n} = {n^2} + n - 1;\)

c) \({u_n} = - {n^2} + 1\).

Để tính xấp xỉ giá trị \(\sqrt p ,\) người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau: \({u_1} = k,{u_n} = \frac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} + \frac{p}{{{u_{n - 1}}}}} \right)\) với \(n \ge 2\), ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của \(\sqrt p .\)

Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính \({u_5}\) và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm)

a) \(\sqrt 5 \) (lấy \(k = 3\));

b) \(\sqrt 8 \) (lấy \(k = 3\));

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi hệ thức truy hồi: \({u_1} = 1,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right)\).

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\). Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}\).

c) Chứng minh rằng \({u_{n + 1}} + {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2}\), tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng chỉ còn 75% giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian 5 năm kể từ khi mua?

Nếu tỉ lệ lạm phát là 3,5% mỗi năm và giá trung bình của một hộ chung cư mới tại thời điểm hiện tại là 2,5 tỉ đồng thì giá trị trung bình của một căn hộ chung cư sau n năm nữa được cho bởi công thức \({A_n} = 2,5.{\left( {1,035} \right)^n}\) (tỉ đồng). Tìm giá trị trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm nữa?

Bác An gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 3 tháng, với lãi suất 3% một năm. Số tiền (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau n quý (mỗi quý là 3 tháng) sẽ là \({A_n} = 200{\left( {1 + \frac{{0,03}}{4}} \right)^n},n = 0,1,2,...\)

a) Viết ba số hạng đầu của dãy số.

b) Tìm số tiền bác An nhận được sau 2 năm.

Vi khuẩn E. Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn E. Coli phân chia làm đôi cứ sau 20 phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong 12 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E. Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 48 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể?

Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với \(1,0 \times {10^9}\) vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt được \(4,0 \times {10^8}\) vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn có thể tăng lên 25%.

a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng.

b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thứ năm.