Bài tập 2.2 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

a) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} + n + 1 + 1 - \left( {{n^2} + n + 1} \right) = 2n + 3 > 0\forall n \ge 1\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

\( = \frac{{\left( {2n + 7} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {2n + 5} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} < 0\forall n \ge 1\)

Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

b) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 5}}{{n + 3}} - \frac{{2n + 5}}{{n + 2}} = \frac{{2n + 7}}{{n + 3}} - \frac{{2n + 5}}{{n + 2}}\)

\( = \frac{{\left( {2n + 7} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {2n + 5} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} < 0\forall n \ge 1\)

Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

c) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2} + 1}}\)

\( = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} + \frac{1}{{{n^2} + 1}}} \right)\)

Ta thấy hiệu này âm hay dương phụ thuộc vào n chẵn hay n lẻ. Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không tăng, không giảm.

-- Mod Toán 11 HỌC247