Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Nguyên phân là quá trình tế bào phân chia thành hai tế bào con giống hệt nhau về mặt di truyền.

Lập bảng sau đây để tính số tế bào được tạo ra từ một tế bào ban đầu sau những lần nguyên phân.

a) Hoàn thành bảng trên vào vở.

b) Gọi \(y\) là số tế bào được tạo ra từ một tế bào ban đầu sau \(x\left( {x = 0,1,2,...} \right)\) lần nguyên phân. Viết công thức biểu thị \(y\) theo \(x\).

a) Xét hàm số mũ \(y = {2^x}\) với tập xác định \(\mathbb{R}\).

i) Hoàn thành bảng giá trị sau:

ii) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), xác định các điểm có toạ độ như bảng trên. Làm tương tự, lấy nhiều điểm \(M\left( {x;{2^x}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) như Hình 2. Từ đồ thị nảy, nêu nhận xét về tính liên tục, tính đồng biến, nghịch biến, giới hạn khi \(x \to + \infty ,x \to - \infty \) và tập giá trị của hàm số đã cho.

b) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\). Từ đó, nêu nhận xét về tính liên tục, tính đồng biến, nghịch biến, giới hạn khi \(x \to + \infty ,x \to - \infty \) và tập giá trị của hàm số này.

Trên cùng một hệ trục toạ độ, vẽ đồ thị các hàm số \(y = {3^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\).

So sánh các cặp số sau:

a) \(0,{85^{0,1}}\) và \(0,{85^{ - 0,1}}\).

b) \({\pi ^{ - 1,4}}\) và \({\pi ^{ - 0,5}}\).

c) \(\sqrt[4]{3}\) và \(\frac{1}{{\sqrt[4]{3}}}\).

Khối lượng vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy sau \(t\) giờ kể từ thời điểm ban đầu được cho bởi công thức \(M\left( t \right) = 50.1,{06^t}\left( g \right)\).

(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, trang 101)

a) Tìm khối lượng vi khuẩn tại thời điểm bắt đầu nuôi cấy (gọi là khối lượng ban đầu).

b) Tính khối lượng vi khuẩn sau 2 giờ và sau 10 giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

c) Khối lượng vi khuẩn tăng dần hay giảm dần theo thời gian? Tại sao?

Cho \(s\) và \(t\) là hai đại lượng liên hệ với nhau theo công thức \(s = {2^t}\).

a) Với mỗi giá trị của \(t\) nhận giá trị trong \(\mathbb{R}\), tìm được bao nhiêu giá trị tương ứng của \(s\)? Tại sao?

b) Với mỗi giá trị của \(s\) thuộc \(\left( {0; + \infty } \right)\), có bao nhiêu giá trị tương ứng của \(t\)?

c) Viết công thức biểu thị \(t\) theo \(s\) và hoàn thành bảng sau.

a) Xét hàm số \(y = {\log _2}x\) với tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

i) Hoàn thành bảng giá trị sau:

ii) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), xác định các điểm có toạ độ như bảng trên. Làm tương tự, lấy nhiều điểm \(M\left( {x;{{\log }_2}x} \right)\) với \(x > 0\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = {\log _2}x\) như Hình 4. Từ đồ thị này, nêu nhận xét về tính liên tục, tính đồng biến, nghịch biến, giới hạn khi \(x \to + \infty ,x \to {0^ + }\) và tập giá trị của hàm số đã cho.

b) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\). Từ đó, nhận xét về tính liên tục, tính đồng biến, nghịch biến, giới hạn khi \(x \to + \infty ,x \to {0^ + }\) và tập giá trị của hàm số này.

Trên cùng một hệ trục toạ độ, vẽ đồ thị các hàm số \(y = {\log _3}x\) và \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).

So sánh các cặp số sau:

a) \({\log _{\frac{1}{2}}}4,8\) và \({\log _{\frac{1}{2}}}5,2\);

b) \({\log _{\sqrt 5 }}2\) và \({\log _5}2\sqrt 2 \);

c) \( - {\log _{\frac{1}{4}}}2\) và \({\log _{\frac{1}{2}}}0,4\).

Mức cường độ âm được tính theo công thức như ở Ví dụ 6.

a) Tiếng thì thầm có cường độ âm \(I = {10^{ - 10}}W/{m^2}\) thì có mức cường độ âm bằng bao nhiêu?

b) Để nghe trong thời gian dài mà không gây hại cho tai, âm thanh phải có cường độ không vượt quá 100 000 lần cường độ của tiếng thì thẩm. Âm thanh không gây hại cho tai khi nghe trong thời gian dài phải ở mức cường độ âm như thế nào?

Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = {4^x}\);

b) \(y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\).

So sánh các cặp số sau:

a) \(1,{3^{0,7}}\) và \(1,{3^{0,6}}\);

b) \(0,{75^{ - 2,3}}\) và \(0,{75^{ - 2,4}}\).

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \({\log _2}\left( {3 - 2{\rm{x}}} \right)\);

b) \({\log _3}\left( {{x^2} + 4{\rm{x}}} \right)\).

Vẽ đồ thị các hàm số:

a) \(y = \log x\);

b) \(y = {\log _{\frac{1}{4}}}x\).

So sánh các cặp số sau:

a) \({\log _\pi }0,8\) và \({\log _\pi }1,2\);

b) \({\log _{0,3}}2\) và \({\log _{0,3}}2,1\);

Cường độ ánh sáng \(I\) dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức \(I = {I_0}.{a^d}\), trong đó \({I_0}\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, \(a\) là hằng số \(\left( {a > 0} \right)\) và \(d\) là độ sâu tính bằng mét tính từ mặt nước biển.

(Nguồn: https://www.britannica.com/science/seawer/Optical-properties)

a) Có thể khẳng định rằng \(0 < a < 1\) không? Giải thích.

b) Biết rằng cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng \(0,95{I_0}\). Tìm giá trị của \(a\).

c) Tại độ sâu 20 m, cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với \({I_0}\)? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.)

Công thức \(h = - 19,4.\log \frac{P}{{{P_0}}}\) là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao \(h\) so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (tính bằng kilômét) theo áp suất không khí \(P\) tại điểm đó và áp suất \({P_0}\) của không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng \(Pa\) – đơn vị áp suất, đọc là Pascal).

(Nguồn: https://doi.org/10.1007/s40828-020-0111-6)

a) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng \(\frac{1}{2}{P_0}\) thì máy bay đang ở độ cao nào?

b) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng \(\frac{4}{5}\) lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B. Ngọn núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hảng phần mười.)

Vẽ đồ thị hàm số y = ${\left(\sqrt{2}\right)}^x$?

Vẽ đồ thị hàm số y = ${\log }_{\frac{3}{2}}x$?

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = log₂ (x - 4);

b) y = log0,₂ (x² + 2x + 1);

c) y = ${\log }_5\frac{x}{x-1}$.

So sánh các cặp số sau:

a) 1,04^1,7 và 1,04²;

b) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-\frac{2}{5}}$và ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-\frac{3}{5}}$;

c) 1,2^0,3 và 0,9^1,8;

d) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-0,4}$và 3^{– 0,2} .

So sánh các cặp số sau:

a) \(\sqrt{3}\) và \(\sqrt[5]{27}\);

b) \({{\left( \frac{1}{9} \right)}^{4}}\) và \({{\left( \frac{1}{27} \right)}^{3}}\);

c) \(\sqrt[3]{\frac{1}{5}}\) và \(\sqrt[5]{25}\);

d) \(\sqrt[9]{0,{{7}^{10}}}\) và \(\sqrt[10]{0,{{7}^{9}}}\).

So sánh các cặp số sau:

a) log 4,9 và log 5,2;

b) log_0,3 0,7 và log_0,3 0,8;

c) ${\log }_{\pi }3$ và ${\log }_3\pi$.

So sánh các cặp số sau:

a) 2 log_0,6 5 và $3{\log }_{0,6}\left(2\sqrt[3]{3}\right)$;

b) 6 log₅ 2 và 2 log₅ 6 ;

c) $\frac{1}{2}{\log }_{2}121$ và $2{\log }_{2}2\sqrt{3}$;

d) 2 log₃ 7 và 6 log₉ 4.

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = f(x) = ${\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^x$ trên đoạn [−1; 4];

b) y = f(x) = $\frac{1}{3^x}$ trên đoạn [−2; 2].

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = f(x) = ${\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}x$ trên đoạn $\left[\frac{1}{3};3\right]$;

b) y = f(x) = log₂ (x + 1) trên đoạn $\left[-\frac{1}{2};3\right]$.

Sau khi bệnh nhân uống một liệu thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức D(t) = D₀.a^t (mg) trong đó D₀ và a là các hằng số dương, t là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm uống thuốc?

a) Tại sao có thể khẳng định rằng 0 < a < 1?

b) Biết rằng bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg. Hãy xác định giá trị của D₀ và a.

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu?