Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Góc lượng giác

Mỗi hình dưới đây thể hiện chuyển động quay của một điểm trên bánh lái tàu từ vị trí A đến vị trí B. Các chuyển động này có điểm nào giống nhau, điểm nào khác nhau?

Một chiếc bánh lái tàu có thể quay theo cả hai chiều. Trong Hình 1 và Hình 2, lúc đầu thanh OM ở vị trí OA.

a) Khi quay bánh lái ngược chiều kim đồng hồ (Hình 1), cứ mỗi giây, bánh lái quay một góc \( {60^0}\). Bảng dưới đây cho ta góc quay \(\alpha \)của thanh OM sau t giây kể từ lúc bắt đầu quay. Thay dấu ? bằng số đo thích hơp.

b) Nếu bánh lái được quay theo chiều ngược lại, nghĩa là quay cùng chiều kim đồng hồ ( Hình 2) với cùng tốc độ như trên, người ta ghi -\({60^ \circ }\)để chỉ góc mà thanh OM quay được sau mỗi giây. Bảng dưới đây cho ta góc quay \(\alpha \)của thanh OM sau t giây kể từ lúc bắt đầu quay. Thay dấu ? bằng số đo thích hợp.

Cho \(\widehat {MON} = {60^ \circ }\). Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong Hình 6 và viết công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (OM,ON).

Trong khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là bao nhiêu độ?

Cho Hình 7.

a) Xác định số đo các góc lượng giác (Oa,Ob), (Ob,Oc) và (Oa,Oc).

b) Nhận xét về mối liên hệ giữa ba số đo góc này.

Trong Hình 8, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Viết công thức tổng quát số đo của góc lượng giác (Ox,ON) và (Ox,OP).

Vẽ đường tròn tâm O bán kính R bất kì. Dùng một đoạn dây mềm đo bán kính và đánh dấu được một cung AB có độ dài đúng bằng R (Hình 9). Đo và cho biết \(\widehat {AOB}\) có số đo bằng bao nhiêu độ.

Hoàn thành bảng chuyển đổi đơn vị đo của các góc sau đây:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính bằng 1 và điểm A(1; 0).

a) Cho điểm B(0; 1). Số đo góc lượng giác (OA; OB) bằng bao nhiêu radian?

b) Xác định các điểm A’ và B’ trên đường tròn sao cho các góc lượng giác (OA; OA’), (OA, OB’) có số đo lần lượt là \(\pi \,\) và \( - \frac{\pi }{2}\)

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:

a) \( - {1485^ \circ }\)

b) \(\frac{{19\pi }}{4}\)

Đổi số đo của các góc sau đây sang radian

a) \(38^\circ \)

b) \( - 115^\circ \)

c) \({\left( {\frac{3}{\pi }} \right)^\circ }\)

Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:

a) \(\frac{\pi }{{12}}\)

b) -5

c) \(\frac{{13\pi }}{9}\)

Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác:

a) \(\frac{{ - 17\pi }}{3}\)

b) \(\frac{{13\pi }}{4}\)

c) \( - 765^\circ \)

Góc lượng giác \(\frac{{31\pi }}{7}\) có cùng biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?

\(\frac{{3\pi }}{7};\,\,\frac{{10\pi }}{7};\,\,\frac{{ - 25\pi }}{7}\)

Viết công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA; OM) và \(\left( {OA;ON} \right)\) trong Hình 14:

Trong Hình 15, mâm bánh xe ô tô được chia thành năm phần bằng nhau. Viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Ox; ON).

Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng:

a) \(\frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

b) \(k\frac{\pi }{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Vị trí các điểm B, C, D trên cánh quạt động cơ máy bay trong Hình 16 có thể được biểu diễn cho các góc lượng giác nào sau đây?

\(\frac{\pi }{2} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);\frac{{ - \pi }}{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);\frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc \(\alpha = {\left( {\frac{1}{{60}}} \right)^\circ }\) của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo \(\alpha \) sang radian và cho biết 1 hải lí bằng khoảng bao nhiêu kilomet, biết bán kính trung bình của Trái Đất là 6371km. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:

a) 15°;

b) 65°;

c) ‒105°;

d) ${\left(\frac{-5}{\pi }\right)}^o$.

Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:

a) 6;

b) $\frac{4\pi }{15};$

c) $\frac{-19\pi }{8};$

d) $\frac{5}{3}.$

Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong mỗi hình dưới đây? Biết trong các Hình 4a, b, c có $\widehat{AOB}=\frac{\pi }{4};$ trong các hình 4d, e, g có $\widehat{CID}=82°.$

Hãy tìm số đo α của góc lượng giác (Om, On), với ‒π ≤ α < π, biết một góc lượng giác cùng tia đầu Om và tia cuối On có số đo là:

a) $\frac{36\pi }{5};$

b) $\frac{-75\pi }{14};$

c) $\frac{39\pi }{8};$

d) 2023π.

Cho một góc lượng giác có số đo là 375°.

a) Tìm số lớn nhất trong các số đo của góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó mà có số đo âm;

b) Tìm số nhỏ nhất trong các số đo của góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó mà có số đo dương.

Viết công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (Om, On) dưới dạng a° + k360° (k ∈ ℤ), với 0 ≤ a < 360, biết một góc lượng giác với tia đầu Om, tia cuối On có số đo:

a) 1935°;

b) ‒ 450°;

c) ‒ 1440°;

d) 754,5°.

Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác:

a) ‒ 1965°;

b) $\frac{48\pi }{5}.$

a) Góc lượng giác ‒ 245° có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?

‒ 605°; ‒ 65°; 115°; 205°; 475°.

b) Góc lượng giác $\frac{24\pi }{5}$ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?

$-\frac{16\pi }{5};-\frac{\pi }{5};\frac{14\pi }{5};\frac{29\pi }{5};\frac{53\pi }{10}.$

Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là:

a) $\frac{\pi }{6}+k\pi \left(\mathrm{,\; k}\in \mathbb{Z}\right);$

b) $\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(\mathrm{,\; k}\in \mathbb{Z}\right).$

Trong hình bên, các điểm M, A’, N tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều. Vị trí các điểm M, A’, N trên đường tròn lượng giác có thể được biểu diễn cho góc lượng giác nào sau đây?

$\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}\left(\mathrm{,\; k}\in \mathbb{Z}\right);-\pi +k\frac{2\pi }{3}\left(\mathrm{,\; k}\in \mathbb{Z}\right);-\frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{3}\left(\mathrm{,\; k}\in \mathbb{Z}\right).$

Cho ba điểm M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác của các góc lượng giác có số đo k2π; $\frac{\pi }{2}+k2\pi ;$ π + k2π (k ∈ ℤ). Tam giác MNP là tam giác gì?

Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 175 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều dương.

a) Sau 5 giây, cánh quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?

b) Sau thời gian bao lâu cánh quạt quay được một góc có số đo 42π?

Trong chặng đua nước rút, bánh xe của một vận động viên đua xe đạp quay được 30 vòng trong 8 giây. Chọn chiều quay của bánh xe là chiều dương. Xét van V của bánh xe.

a) Sau 1 phút, van V đó quay được một góc có số đo là bao nhiêu radian?

b) Biết rằng bán kính của bánh xe là 35 cm. Độ dài quãng đường mà vận động viên đua xe đạp đã đi được trong một phút là bao nhiêu mét?