Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Bài tập cuối Chương 1

Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:

A. \(\left( {0;\pi } \right)\)

B. \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\)

C. \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

D. \(\left( { - \pi ;0} \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\) là:

A.\(y = \sin x\)

B.\(y = \cos x\)

C.\(y = \tan x\)

D.\(y = \cot x\)

Nếu \(\tan \left( {a + b} \right) = 3,\tan \left( {a - b} \right) = - 3\) thì \(\tan 2a\) bằng:

A.0

B.\(\frac{3}{5}\)

C.1

D.\( - \frac{3}{4}\)

Nếu \(\cos a = \frac{1}{4}\) thì \(\cos 2a\) bằng:

A.\(\frac{7}{8}\)

B.\( - \frac{7}{8}\)

C.\(\frac{{15}}{{16}}\)

D.\( - \frac{{15}}{{16}}\)

Nếu \(\cos a = \frac{3}{5}\) và \(\cos b = - \frac{4}{5}\) thì \(\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right)\) bằng:

A.0

B.2

C.4

D.5

Nếu \(\sin a = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\) thì \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng

A.\(\frac{2}{3}\)

B.\(\frac{1}{3}\)

C.\( - \frac{2}{3}\)

D.\( - \frac{1}{3}\)

Số nghiệm của phương trình cosx = 0 trên đoạn \(\left[ {0;10\pi } \right]\) là

A.5

B.9

C.10

D.11

Số nghiệm của phương trình sinx = 0 trên đoạn \(\left[ {0;10\pi } \right]\) là:

A.10

B.6

C.5

D.11

Phương trình \(\cot x = - 1\) có nghiệm là:

A.\( - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B.\(\frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C.\(\frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D.\( - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là:

A.4

B.1

C.2

D.3

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) rồi xác định số nghiệm của phương trình 3cosx + 2 = 0 trên đoạn đó.

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\)

c) \(\sin 3x - \cos 5x = 0\)

d) \({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\)

e) \(\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\)

f) \(\sin x + \cos x = 0\)

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày \(\left( {0 \le t < 24} \right)\) cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\). Tìm t để độ sâu của mực nước là

a) 15m

b) 9m

c) 10,5m

a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

b) Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 13,1m.

c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hóa đó là 9m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 4,3m

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ \(A\) đến các đỉnh theo chiều dương). Khi đó, số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OC} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)

B. \( - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)

C. \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \)

D. \( - \frac{\pi }{3} + k2\pi \)

Cho \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{3\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}\) bằng bao nhiêu?

Giá trị của biểu thức \(A = {\left( {2\sin x - \cos x} \right)^2} + {\left( {2\cos x + \sin x} \right)^2}\) bằng:

A. 5

B. 3

C. 4

Nếu hai góc \(a\) và \(b\) có \(\tan a = \frac{1}{3}\) và \(\tan b = \frac{1}{2}\) thì giá trị của \(\tan \left( {a - b} \right)\) bằng:

A. \(\frac{1}{7}\)

B. \( - \frac{1}{5}\)

C. \( - \frac{1}{7}\)

Nếu \(\cos 2\alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) thì giá trị của biểu thức \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\frac{{ - 3 + \sqrt 3 }}{{12}}\)

C. \( - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{12}}\)

Phương trình \(\cos 2x = 0\) có các nghiệm là:

A. \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(x = k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Phương trình \(\tan x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) có các nghiệm là:

A. \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(x = - \frac{\pi }{3}k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chứng minh mỗi đẳng thức sau là đúng:

a) \(\sin {45^o}.\cos {30^o} + \cos \left( { - {{45}^o}} \right).\sin \left( { - {{30}^o}} \right) = \sin {15^o}\)

b) \(\tan \frac{{9\pi }}{{20}} = \frac{{1 + \tan \frac{\pi }{5}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{5}}}\)

Cho \(\sin \left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).

a) Chứng minh rằng \({\sin ^2}\left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}\)?

b) Tính \(\sin 2\alpha \)?

Giải phương trình:

a) \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}\)

b) \(\sin \left( {\frac{x}{3} + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

c) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

d) \(2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0\)

e) \(\sqrt 3 \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = 0\)

g) \(\cot \left( {3x + \pi } \right) = - 1\)

Giải phương trình:

a) \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

b) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)\)

c) \({\cos ^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{6}} \right) = {\cos ^2}\left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\)

d) \(\cot 3x = \tan \frac{{2\pi }}{7}\)

Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm. Khoảng cách \(h\) (cm) từ chất điểm đến trục hoành được tính theo công thức \(h = \left| y \right|\), trong đó \(y = a\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right)\), với \(t\) là thời gian chuyển động của chất điểm tính bằng giây \(\left( {t \ge 0} \right)\) và chất điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí \(A\) (Xem hình dưới)

a) Chất điểm chuyển động một vòng hết bao nhiêu giây?

b) Tìm giá trị của \(a\).

c) Tìm thời điểm sao cho chất điểm ở vị trí có \(h = 2,5\) cm và nằm phía dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.