Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 8

a) Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án A. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m + n cách.

b) Quy tắc nhân

Giả sử một công việc được chúa thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhât có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m.n cách.

a) Hoán vị

Kí hiệu Pn là số hoán vị của n phần tử

Người ta chứng minh được rằng:

Số các hoán vị của m phần tử (\(n \ge 1\)) bằng

\({P_n} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...2.1.\)

Chú ý:

+ Ta đưa vào kí hiệu: \(n! = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...2.1.\) và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n.

Khi đó, Pn = n!.

+ Quy ước: 0! =1.

b) Chỉnh hợp

Người ta chứng minh được rằng

Số các chỉnh hợp chập k của n phân tử \(1 \le k \le n\) bằng

\(A_n^k = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\). 

Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Ta có: \({P_n} = A_n^k,n \ge 1.\) 

c) Tổ hợp

Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phần tử \(1 \le k \le n\)

Người ta chứng minh được rằng:

Số các tổ hợp chập k của n phần tử \(1 \le k \le n\) bằng

\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)

Chú ý: Người ta quy ước \(C_n^0 = 1\). 

Ta có hai công thức khai triển sau:

Chú ý:

Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) với n =0; 1; 2; 3;..  được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như bên. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).

Bảng số trên được gọi là tam giác Pasca (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 — 1662).

Câu 1: Hà có 5 cuốn sách khoa học, 4 cuốn sách tiểu thuyết và 3 cuốn truyện tranh (các sách khác nhau từng đôi một). Hà đồng ý cho Nam mượn một cuốn sách trong số đó để đọc. Nam có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách để mượn?

Hướng dẫn giải

Việc Nam chọn một cuốn sách của Hà để mượn có ba phương án thực hiện

Phương án 1: Mượn một cuốn sách khoa học, có 5 lựa chọn để mượn.

Phương án 2: Mượn một cuốn sách tiểu thuyết, có 4 lựa chọn để mượn.

Phương án 3: Mượn một cuốn sách tiểu thuyết, có 3 lựa chọn để mượn.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có số cách chọn một cuốn sách để Nam mượn của Hà là:

\(5 + 4 + 3 = 12\)  (cách chọn)

Câu 2: Từ 7 chữ số số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được các số có 3 chữ số đôi một khác nhau

a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Hướng dẫn giải

a) Mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập được từ 7 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 7 chữ số. Do đó, số các số lập được là

\(A_7^3 = 7.6.5 = 210\) (số)

b) Việc lập ra được một số lẻ phải qua 2 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ, có 4 cách chọn (1; 3; 5 hoặc 7)

Công đoạn 2: Chọn 2 chữ số bất kì trong 6 chữ số còn lại và sắp xếp chúng cho vị trí chữ số hàng trăm và hàng chục, mỗi số như vậy là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử, nên số các số được lập ra là:

\(A_6^2 = 6.5 = 30\) (cách)

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có 3 chữ số lập được từ 7 chữ số đã cho là số lẻ là: 

\(4.30 = 120\) (số)

Câu 3: Tính:

a) \(C_7^2\)

b)  \(C_9^0 + C_9^9\)

c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3\)

Hướng dẫn giải

a) \(C_7^2 = \frac{{7!}}{{2!.5!}} = \frac{{7.6}}{2} = 21\)

b) \(C_9^0 + C_9^9 = \frac{{9!}}{{0!.9!}} + \frac{{9!}}{{9!.0!}} = 2\)

c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3 = \frac{{15!}}{{3!.12!}} - \frac{{14!}}{{3!.11!}} = \frac{{15.14.13}}{{3.2.1}} - \frac{{14.13.12}}{{3.2.1}} = 91\)

Câu 4: Khai triển các biểu thức sau

a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\)

b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)

Hướng dẫn giải

a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\)

\(\begin{array}{l} = {x^4} + 4{x^3}.\left( { - 2} \right) + 6{x^2}.{\left( { - 2} \right)^2} + 4x{\left( { - 2} \right)^3} + {\left( { - 2} \right)^4}\\ = {x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 16\end{array}\)

b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)

\(\begin{array}{l} = {x^5} + 5.{x^4}.\left( {2y} \right) + 10.{x^3}.{\left( {2y} \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( {2y} \right)^3} + 5.x.{\left( {2y} \right)^4} + 1.{\left( {2y} \right)^5}\\ = {x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^3} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\end{array}\)

Qua bài giảng này giúp các em học sinh:

- Ôn tập và hệ thống lại các kiến thức trọng tâm của chương.

- Áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập một cách dễ dàng.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 8 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100 ?

  • A. 36
  • B. 62
  • C. 54 
  • D. 42 

• Câu 2:

  Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau ?

  • A. 156
  • B. 144 
  • C. 96
  • D. 134 

• Câu 3:

  Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi size S hoặc size M. Áo size S có 5 màu khác nhau, áo size M có 4 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)?

  • A. 9 
  • B. 5 
  • C. 4 
  • D. 20 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 8 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Giải bài 1 trang 36 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 36 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 36 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 36 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 36 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 6 trang 36 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 7 trang 36 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Câu 1 trang 48 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Câu 2 trang 48 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Câu 3 trang 48 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Câu 4 trang 48 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Câu 5 trang 48 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 1 trang 48 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 2 trang 48 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 3 trang 48 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 4 trang 48 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 5 trang 49 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải Bài 6 trang 49 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!