Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Nhị thức Newton

Ta có hai công thức khai triển sau:

Chú ý:

Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) với n =0; 1; 2; 3;..  được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như bên. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).

Bảng số trên được gọi là tam giác Pasca (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 — 1662).

Ví dụ 

Sử đụng công thức nhị thức Newton, hãy khai

\(\begin{array}{l}
a){\left( {x + 3} \right)^4}\\
b){\left( {1 - x} \right)^5}
\end{array}\)

Giải

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có

\(\begin{array}{l}
{\left( {x + 3} \right)^4} = 1.{x^4} + 4.{x^3}.3 + 6.{x^2}{.3^2} + 4.x{.3^3} + {1.3^4}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^4} + 4.3.{x^3} + 6.9.{x^2} + 4.27.x + 81\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^4} + 12.{x^3} + 54{x^2} + 108.x + 81
\end{array}\)

b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {1 - x} \right)^5} = 1 + 5.\left( { - x} \right) + 10.{\left( { - x} \right)^2} + 10.{\left( { - x} \right)^3} + 5.{\left( { - x} \right)^4} + 1{\left( { - x} \right)^5}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 1 - 5x + 10{x^2} - 10{x^3} + 5{x^4} - {x^5}
\end{array}\)

Câu 1: Khai triển các biểu thức sau

a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\)

b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)

Hướng dẫn giải

a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\)

\(\begin{array}{l} = {x^4} + 4{x^3}.\left( { - 2} \right) + 6{x^2}.{\left( { - 2} \right)^2} + 4x{\left( { - 2} \right)^3} + {\left( { - 2} \right)^4}\\ = {x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 16\end{array}\)

b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)

\(\begin{array}{l} = {x^5} + 5.{x^4}.\left( {2y} \right) + 10.{x^3}.{\left( {2y} \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( {2y} \right)^3} + 5.x.{\left( {2y} \right)^4} + 1.{\left( {2y} \right)^5}\\ = {x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^3} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\end{array}\)

Câu 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng

a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\)

b) \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{array}{l}C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {1^4}.C_4^0 + {1^3}.2C_4^1 + {1^2}{.2^2}C_4^2 + {1.2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {\left( {1 + 2} \right)^4} = {3^4}\end{array}\)

\( = 81\) (đpcm)

b)

\(\begin{array}{l}C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {1^4}.C_4^0 - {1^3}.2C_4^1 + {1^2}{.2^2}C_4^2 - {1.2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {\left( {1 - 2} \right)^4} = {\left( { - 1} \right)^4}\end{array}\)

\( = 1\) (đpcm)

Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:

- Nắm vững công thức nhị thức Niu-tơn.

- Biết vận dụng công thức nhị thức Niu-tơn để tìm khai triển các đa thức dạng (ax+b)ⁿ; (ax-b)ⁿ.

- Biết thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác Pa-xcan từ hàng thứ n.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Trong khai triển \({\left( {3{x^2} - y} \right)^{10}}\), hệ số của số hạng chính giữa là:

  • A. \({3^4}.C_{10}^4\) 
  • B. \(- {3^4}.C_{10}^4\) 
  • C. \({3^5}.C_{10}^5\) 
  • D. \(- {3^5}.C_{10}^5\)

• Câu 2:

  Trong khai triển \({\left( {2x - 5y} \right)^8}\), hệ số của số hạng chứa \({x^5}.{y^3}\) là:

  • A. −22400
  • B. −40000
  • C. -8960 
  • D. -4000 

• Câu 3:

  Trong khai triển \({\left( {2a - b} \right)^5}\), hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

  • A. -80 
  • B. 80 
  • C. -10
  • D. 10 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khởi động trang 33 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Hoạt động khám phá trang 33 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 1 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Thực hành 2 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Vận dụng trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 1 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 1 trang 47 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 2 trang 47 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 3 trang 47 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 4 trang 47 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 5 trang 47 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 6 trang 47 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Giải bài 7 trang 47 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!