Biết R = 4\(\Omega \), bóng đèn Đ: 6V – 3W, R2 là một biến trở. Hiệu điện thế UMN = 10 V (không đổi).

a.         Vì R_đ // R₂ ® R_2đ = \)\frac{12.{{R}_{2}}}{12+{{R}_{2}}}\) ® R_tđ = 4 + \)\frac{12{{R}_{2}}}{12+{{R}_{2}}}\) = \)\frac{48+16{{R}_{2}}}{12+{{R}_{2}}}\)

Áp dụng định luật Ôm: I = \(\frac{{{u}_{MN}}}{{{R}_{td}}}\) = \(\frac{10(12+R_{2}^{{}})}{48+16{{R}_{2}}}\).                        

Vì R nt R_2đ → I_R = I_2đ = I = \(\frac{10(12+{{R}_{2}})}{48+16{{R}_{2}}}\)  → u_2đ = I.R_2đ = \(\frac{120{{R}_{2}}}{48+16{{R}_{2}}}\).

Áp dụng công thức: P = \(\frac{{{u}^{2}}}{R}\) → P₂ = \(\frac{{{u}_{2}}^{2}}{{{R}_{2}}}\) =\(\frac{{{(120.{{R}_{2}})}^{2}}}{{{(48+16{{R}_{2}})}^{2}}.{{R}_{2}}}\) = \(\frac{{{120}^{2}}.{{R}_{2}}}{{{(48+16{{R}_{2}})}^{2}}}\)          

Chia cả 2 vế cho R₂ → P₂ = \(\frac{{{120}^{2}}}{\frac{{{48}^{2}}}{{{R}_{2}}}+{{16}^{2}}{{R}_{2}}+2.48.16}\)                   

Để P_{2 max} → \(\left( \frac{{{48}^{2}}}{{{R}_{2}}}+{{16}^{2}}{{R}_{2}}+2.48.16 \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất

→ \(\left( \frac{{{48}^{2}}}{{{R}_{2}}}+{{16}^{2}}.{{R}_{2}} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

\(\frac{{{48}^{2}}}{{{R}_{2}}}\) + 16².R₂ \(\ge \) 2.\(\sqrt{\frac{{{48}^{2}}}{{{R}_{2}}}{{.16}^{2}}{{R}_{2}}}\) = 2.48.16

→ P_{2 Max} =\(\frac{{{120}^{2}}}{4.48.16}\)=4,6875 (W).                                                   

Đạt được khi:  \(\frac{{{48}^{2}}}{{{R}_{2}}}\) = 16².R₂ → R₂² = \(\frac{{{48}^{2}}}{{{16}^{2}}}\) = 3² → R₂ = 3\(\Omega \)

Vậy khi R₂ = 3 thì công suất tiêu thụ trên R₂ là đạt giá trị cực đại.

b. Gọi điện trở đoạn mạch song song là x → R_AB = x

→ R_tđ = x + 4 → I = \(\frac{10}{4+x}\)                                                                   

→ P_AB = I².R_AB = \(\frac{{{10}^{2}}}{{{\left( 4+x \right)}^{2}}}\).x = \(\frac{{{10}^{2}}.x}{16+8x+{{x}^{2}}}\) = \(\frac{{{10}^{2}}}{x+8+\frac{16}{x}}\)

Để P_AB đạt giá trị lớn nhất → \(\left( x+8+\frac{16}{x} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất

áp dụng bất đẳng thức Côsi: x + \(\frac{16}{x}\) \(\ge \) 2.\(\sqrt{16}\) = 2.4 = 8  

→ P_{AB Max} = \(\frac{{{10}^{2}}}{16}\) = \(\frac{100}{16}\) = 6,25 (W)

Đạt được khi: x = \(\frac{16}{x}\) → x² = 16 → x = 40,25 đ

Mà R₂ // R_đ → \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{1}{{{R}_{2}}}\) + \(\frac{1}{{{R}_{d}}}\) → \(\frac{1}{{{R}_{2}}}\) = \(\frac{1}{x}\) - \(\frac{1}{{{R}_{d}}}\) =\(\frac{1}{4}\) - \(\frac{1}{12}\) = \(\frac{1}{6}\)

→ R₂ = 6\(\Omega \).

Vậy khi R₂ = 6\(\Omega \) thì công suất tiêu thụ trên đoạn mạch song song đạt cực đại.