Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{2(4x^2+y^2)}+\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}=3x-2y

Điều kiện xác định: \(\small \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ y^2+x+6\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq -1 (*)\)
Biến đổi vế trái phương trình thứ nhất
\(\sqrt{(2x+y)^2+(2x-y)^2}+\sqrt{(2x+y)^2+(x-y)^2}\geq \left | 2x-y \right |+\left | x-y \right |\)
\(\geq \left | 3x-2y \right |\geq 3x-2y\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{\begin{matrix} 2x+y=0\\ (2x-y)(x-y)\geq 0\\ 3x-2y\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2x=-y\geq 0\)
Thay vào (2) ta được phương trình: \(\sqrt{4x^2+x+6}=-2x+1+5\sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(2x-1)^2+5(x+1)}=-(2x-1)+5\sqrt{x+1} \ \ (3)\)
Với \(x\geq 0\) , chia hai vế của phương trình (3) cho \(\sqrt{x+1}\)  ta được phương trình tương đương
\(\sqrt{(\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}})^2+5}=-\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}+5\)
Đặt \(\sqrt{\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}}\) phương trình được viết: \(\sqrt{t^2+5}=-t+5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t\leq 5\\ t=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=2\)
Giải phương trình:
\(\frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}=2\Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}=2x-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2}\\ 4(x+1)=4x^2-4x+1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2}\\ 4x^2-8x-3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2}\\ x=\frac{4\pm \sqrt{28}}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1+\frac{\sqrt{7}}{2}\)
Khi \(x=1+\frac{\sqrt{7}}{2}\Rightarrow y=-2-\sqrt{7}\)
Nghiệm của hệ phương trình là: \((x;y)=(1+\frac{\sqrt{7}}{2};-2-\sqrt{7})\)