YOMEDIA
NONE

Tìm GTNN của biểu thức (căn (4+x^4)+căn(4+y^4)+căn(4+z^4)

1)với x,y,z là các số nguyên thoả mãn x+y+z+xy+yz+xz=6.tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Thanh Duy Le

    trước hết ta chứng minh BĐT \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}\)bình phương vế trái ta được:

    \(a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2+2\left(\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{b^2+y^2}.\sqrt{c^2+z^2}+\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{c^2+z^2}\right)\)

    áp dụng BĐt bunyakovsky:

    \(\sqrt{\left(a^2+x^2\right)\left(b^2+y^2\right)}\ge\sqrt{\left(ab+xy\right)^2}=ab+xy\)

    tương tự với các bộ còn lại ta thu được :

    \(VT^2\ge a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2+2\left(ab+bc+ca+xy+yz+xz\right)=VF^2\)

    do đó BĐT trên đúng

    Áp dụng vào bài toán:

    \(\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\ge\sqrt{\left(2+2+2\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)(*)

    giờ tìm MIn của\(x^2+y^2+z^2\)

    ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)(1)

    Áp dụng BĐT cauchy:\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

    \(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(2)

    cộng theo vế (1) và (2):

    \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)=12\)

    \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

    kết hợp với (*),ta có:

    \(VT\ge\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}\)

    dấu = xảy ra khi x=y=z=1

      bởi Thanh Duy Le 21/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF