YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng a^2+b^2+c^2+a+b+c≥2(ab+bc+ca)

cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.CMR:

\(a^2+b^2+c^2+a+b+c\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Đặng Hương

    Lời giải:

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\)

    \(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 9\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 9abc\) (do \(abc=1\) )

    \(\Rightarrow a+b+c\geq \frac{9abc}{a+b+c}\)

    Do đó:

    \(a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}(**)\)

    Giờ ta sẽ chứng minh:

    \(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ac)(*)\)

    \(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+9abc\geq 2(ab+bc+ac)(a+b+c)\)

    \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)\)

    (đúng theo BĐT Schur bậc 3)

    Do đó \((*)\) đúng.

    Từ \((**); (*)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ac)\)

    Ta có đpcm

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

      bởi Đặng Hương 18/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF