YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng 1/1+a^2 + 1/1+b^2 >=2/1+ab

a, Cho a,b > 0 . CMR :\(\dfrac{1}{1+a^2}\)+ \(\dfrac{1}{1+b^2}\) \(\ge\)\(\dfrac{2}{1+ab}\) nếu ab \(\ge\)1

b, Cho a,b,c \(\ge1\). CMR : \(\dfrac{1}{1+a^4}\) + \(\dfrac{1}{1+b^4}\) + \(\dfrac{1}{1+c^4}\) \(\ge\)\(\dfrac{1}{1+ab^3}\) + \(\dfrac{1}{1+bc^3}\) + \(\dfrac{1}{1+ca^3}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Người Quen Biết

    Lời giải:

    a)

    Sử dụng pp biến đổi tương đương:

    \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)

    \(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)

    \(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)

    \(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)

    Ta có đpcm.

    b) Áp dụng công thức của phần a ta có:

    \(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}\)

    Tiếp tục áp dụng công thức phần a: \(\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\)

    Do đó:

    \(\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}\)

    Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}\)

    Cộng theo vế các BĐT trên thu được:

    \(4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)\)

    \(\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)

    Ta có đpcm

    Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

      bởi Người Quen Biết 14/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON