YOMEDIA
NONE

Chứng minh 3/(xy+yz+xz)+2/(x^2+y^2+z^2)>=15 biết x+y+z=1

cho x,y,z >0 và x+y+z=1

cmr : \(\dfrac{3}{xy+yz+xz}+\dfrac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge15\)

nhờ mn giải nhanh giúp

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Quỳnh Như

    Với x,y,z dương

    Ta có:(x-y)2\(\ge0\forall x;y\)

    =>x2+y2\(\ge\)2xy

    Dấu = xảy ra khi x=y

    Tương tự y2+z2\(\ge\)2yz

    z2+x2\(\ge\)2zx

    Cộng vế với vế 3 BĐT =>2(x2+y2+z2)\(\ge\)2(xy+yz+zx)

    <=>x2+y2+z2\(\ge\)xy+yz+zx

    <=>\(\dfrac{3}{xy+yz+zx}\ge\dfrac{3}{x^2+y^2+z^2}\)

    Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

    =>\(\dfrac{3}{xy+yz+zx}+\dfrac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\dfrac{5}{x^2+y^2+z^2}\)

    Áp dụng BĐT bunhiacopski:

    \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}\right)\le\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^2=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}\)(Do x+y+z=1)

    Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{3}\)<=>x=y=z

    =>\(\dfrac{5}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{5}{3\cdot\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)}\ge\dfrac{5}{3\cdot\dfrac{1}{9}}=15\)

    =>\(\dfrac{3}{xy+yz+zx}+\dfrac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge15\)(đpcm)

    Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\z+y+z=1\end{matrix}\right.\)<=>x=y=z=\(\dfrac{1}{3}\)

      bởi Quỳnh Như 14/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON