YOMEDIA
NONE

Chứng minh 2x^2+y^2+z^2/4-yz+2y^2+z^2+x^2/4-zx+2z^2+x^2+y^2/4-xy >= 4xyz

Cho các số thực dương x,y,z tm: x+y+z=3

CMR \(\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\ge 4xyz\)

@Lightning Farron giúp em với

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (2)

  • Nguyễn Kyubi

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(VT=\dfrac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\dfrac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\dfrac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)

    \(\ge\dfrac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\dfrac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\dfrac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)

    Cần chứng minh: \(\dfrac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\dfrac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\dfrac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\dfrac{\sqrt{xz}}{xz\left(4-xz\right)}+\dfrac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)

    Mà theo BĐT Cauchy-SChwarz ta có:

    \(\left(x+y+z\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)^2\)

    \(\Leftrightarrow3\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)

    Đăt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{xz}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{matrix}\right.\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\dfrac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\dfrac{c}{c\left(4-c^2\right)}\ge1\left(\odot\right)\)

    Ta có BĐT phụ: \(\dfrac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}\le-\dfrac{1}{9}a+\dfrac{4}{9}\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-1\right)^2\left(a^2-2a-9\right)}{9a\left(a-2\right)\left(a+2\right)}\le0\forall0< a\le1\)

    Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

    \(VT_{\left(\odot\right)}\ge\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{9}+\dfrac{4}{9}\cdot3\ge\dfrac{-3}{9}+\dfrac{12}{9}=1=VP_{\left(\odot\right)}\)

    Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

      bởi Nguyễn Kyubi 28/12/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
    • YOMEDIA

    Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

  • Super Misoo

    VT=2x2+y2+z24−yz+2y2+z2+x24−xz+2z2+x2+y24−xy

    ≥4xyz4−yz+4yxz4−xz+4zxy4−xy

    Cần chứng minh: 4xyz4−yz+4yxz4−xz+4zxy4−xy≥4xyz

      bởi Super Misoo 25/10/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON