So sánh BE và EC biết tam giác ABC có AB < AC, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AB = AK

a) Xét hai tam giác ABE và AKE có:

AB = AK (gt)

\(\widehat{A_1}\) = \(\widehat{A_2}\) (gt)

AE: cạnh chung

Vậy: \(\Delta ABE=\Delta AKE\left(c-g-c\right)\)

b) Ta có: \(\widehat{B_1}\) + \(\widehat{B_2}\) = \(\widehat{K_1}\) + \(\widehat{K_2}\) = 180^o (kề bù)

Mà \(\widehat{B_1}\) = \(\widehat{K_1}\) (\(\Delta ABE=\Delta AKE\))

\(\Rightarrow\) \(\widehat{B_2}\) = \(\widehat{K_2}\)

Xét hai tam giác BME và CKE có:

\(\widehat{B_2}\) = \(\widehat{K_2}\) (cmt)

BE = EK (\(\Delta ABE=\Delta AKE\))

\(\widehat{BEM}\) = \(\widehat{CEK}\) (đối đỉnh)

Vậy: \(\Delta BME=\Delta CKE\left(g-c-g\right)\)

Suy ra: BM = KC (hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: AM = AB + BM

AC = AK + KC

Mà AB = AK (gt)

BM = KC (cmt)

\(\Rightarrow\) AM = AC

\(\Rightarrow\) \(\Delta AMC\) cân tại A

Ta có \(\Delta AMC\) cân tại A có AE là đường phân giác đồng thời là đường trung trực

Do đó: AE là đường trung trực của \(\Delta AMC\) (đpcm)

d) Ta có: \(\widehat{K_1}\) + \(\widehat{K_2}\) = 180^o (kề bù)

Mà \(\widehat{K_1}\) là góc nhọn

\(\Rightarrow\) \(\widehat{K_2}\) là góc tù

Trong \(\Delta EKC\) có:

\(\widehat{KCE}\) < \(\widehat{K_2}\)

\(\Rightarrow\) EK < EC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Mà BE = EK (\(\Delta ABE=\Delta AKE\))

Do đó: BE < EC.