So sánh BD và AC biết tam giác ABC có góc A=90 độ, góc B=54 độ

\(\Delta ABC\) có \(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180^0\) ( tổng ba góc của một tam giác )

\(\Rightarrow90^0+54^0+\widehat{BCA}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=180^0-\left(90^0+54^0\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=36^0\)
Ta có : \(\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}+18^0=54^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=54^0-18^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=36^0\)
\(\Delta ADB\) có : \(\widehat{ABD}+\widehat{BDA}+\widehat{BAD}=180^0\) ( tổng ba góc của một tam giác )

\(\Rightarrow36^0+\widehat{BDA}+90^0=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BDA}=180^0-\left(90^0+36^0\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BDA}=54^0\)
Δ ABD đồng dạng Δ ACB (g.g)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow AD=\frac{AB^2}{AC}\)

\(\Rightarrow DC=AC-AD=\frac{\left(AC^2-AB^2\right)}{AC}\)
Ta có :

\(\frac{\left(AC^2-AB^2\right)}{AC}< \frac{\left(BC^2-AB^2\right)}{AC}=\frac{AB^2}{AC}\)
Do đó : \(DC< AD\)
( Khi cm thì không được tính xấp xỉ nhờ máy tính rồi kết luận, nên không thể đặt một cạnh là a rồi dùng các CT lượng giác để tính độ dài cạnh)
Dựng Δ DBE cân tại D , \(\widehat{E}=\widehat{DBC}=18^0\)
\(\Rightarrow BD=DE\)

Ta có :

\(\widehat{ADE}=\widehat{ACB}-\widehat{E}=18^0=\widehat{E}\) nên Δ CED cân tại C

\(\Rightarrow CD=CE\)
Theo hệ thức lượng trong Δ CED:
\(DE< CD+CE=2CD\)
Mà \(AC=AD+CD>2CD\) ( vì \(AD>CD\) ) , và \(DE=BD\)
Nên \(AC>BD\)
Vậy : \(AC>BD\)