So sánh A=(1/2^2-1).(1/3^2-1)...(1/100^2-1) với -1/2

a) \(A=\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)...\left(\frac{1}{100^2}-1\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{1-2^2}{2^2}\right)\left(\frac{1-3^2}{3^2}\right)....\left(\frac{1-100^2}{100^2}\right)\)

\(\Rightarrow A=-\left(\frac{2^2-1}{2^2}\right).-\left(\frac{3^2-1}{3^2}\right)....-\left(\frac{100^2-1}{100^2}\right)\) (có lẻ số hạng)

\(\Rightarrow A=-\left(\frac{\left(2-1\right).\left(2+1\right)}{2.2}\right)\left(\frac{\left(3-1\right)\left(3+1\right)}{3.3}\right)...\left(\frac{\left(100-1\right)\left(100+1\right)}{100.100}\right)\)

\(\Rightarrow A=-\left(\frac{1.3}{2.2}\right)\left(\frac{2.4}{3.3}\right)....\left(\frac{99.101}{100.100}\right)\)

\(\Rightarrow A=-\frac{\left(1.2.3....99\right)\left(3.4.5....101\right)}{\left(2.3.4....100\right)\left(2.3.4....100\right)}\)

\(\Rightarrow A=-\frac{1.101}{100.2}\)

\(\Rightarrow A=-\frac{1}{2}.\frac{101}{100}< -\frac{1}{2}\)

b) \(B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

-Vì 1 là số nguyên nên để B nhận gtrị nguyên khi \(\frac{4}{\sqrt{x}-3}\) nhận gtrị nguyên

- Vì x nguyên => \(\sqrt{x}\) là số nguyên khi x là số chính phương hoặc \(\sqrt{x}\) là số vô tỉ nếu x không phải là số chính phương

- Nếu \(\sqrt{x}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\sqrt{x}-3\) cũng là số vô tỉ

=> Không có gtrị nguyên nào của x để \(\frac{4}{\sqrt{x}-3}\) nhận giá trị nguyên

=> \(\sqrt{x}\) phải là số nguyên

Khi đó để \(\frac{4}{\sqrt{x}-3}\) nhận gtrị nguyên khi \(\sqrt{x}-3\inƯ\left(4\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{1,2,4,-1,-2,-4\right\}\)

Ta có bảng sau

Vậy \(x\in\left\{1;4;16;25;49\right\}\)