Chứng minh P < OA+OB+OC < 2P biết tam giác ABC có chu vi bằng 2P, O là điểm thuộc tam giác ABC

Gọi \(\left\{D\right\}=AO\cap BC\)

\(\Delta BOC:OB+OC>BC\) (1)

\(\Delta AOC:OA+OC>AC\) (2)

\(\Delta AOB:OA+OB>AB\) (3)

Từ (1), (2), (3)\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC\right)>AB+AC+BC\)

\(\Rightarrow OA+OB+OC>\dfrac{2P}{2}=P\) (4)

\(\Delta ACD:AC+DC>AD=AO+OD\) (5)

\(\Delta BOD:BD+OD>BO\) (6)

Từ (5), (6)\(\Rightarrow AC+BD+DC+OD>AO+BO+OD\)

\(\Rightarrow AC+BC>AO+BO\) (7)

Chứng minh tương tự ta được:

AB+BC>AO+CO (8)

AB+AC>BO+CO (9)

Từ (7),(8) ,(9)\(\Rightarrow2\left(AB+AC+BC\right)>2\left(OA+OB+OC\right)\)

\(\Rightarrow AB+AC+BC=2P>OA+OB+OC\) (10)

Từ (4), (10)\(\Rightarrow P< OA+OB+OC< 2P\)

Chúc bạn học tốt