Chứng minh p^2+2012 là hợp số biết p là số nguyên tố lớn hơn 3

Lời giải:

a)

Nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $p$ không chia hết cho $3$

Do đó $p$ có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$

+)\(p=3k+1\Rightarrow p^2+2012=(3k+1)^2+2012=9k^2+6k+2013\)

Thấy rằng \(9;6;2013\vdots 3\Rightarrow p^2+2012\vdots 3\), mà nó lớn hơn $3$ nên là hợp số

+) \(p=3k+2\Rightarrow p^2+2012=(3k+2)^2+2012\)

\(=9k^2+12k+2016\)

Thấy rằng \(9;12;2016\vdots 3\Rightarrow p^2+2012\vdots 3\), mà nó lớn hơn $3$ nên là hợp số.

Từ hai TH trên ta có đpcm

b)

Đặt \(n+4=a^2\). Vì \(n\) là số tự nhiên có hai chữ số nên

\(10\leq n\leq 99\Rightarrow 14\leq a^2\leq 103\)

\(\Leftrightarrow 4\leq a\leq 10\)

Thấy $2n$ là một số chính phương chẵn, do đó nó phải chia hết cho $4$, kéo theo $n$ chia hết cho $2$

\(\Rightarrow n+4\) chẵn \(\Rightarrow a\) chẵn.

Do đó, \(a\in\left\{4;6;8;10\right\}\)

+) \(a=4\Rightarrow n=a^2-4=12\Rightarrow 2n=24\not\in scp\)

+) \(a=6\Rightarrow n=a^2-4=32\Rightarrow 2n=64\in scp\) (thỏa mãn)

+) \(a=8\Rightarrow n=a^2-4=60\Rightarrow 2n=120\not\in scp\)

+) \(a=10\Rightarrow n=a^2-4=96\Rightarrow 2n=192\not\in scp\)

Vậy \(n=32\)