Chứng minh nếu a(y + z) = b(x + z) = c(x + y) với a,b,c khác nhau và khác 0 thì (y-z)/a(b-c)=(z-x)/b(c-a)

Bài 2 )

\(a\left(y+z\right)=b\left(x+z\right)=c\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(y+z\right)}{abc}=\frac{b\left(x+z\right)}{abc}=\frac{c\left(x+y\right)}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y+z}{bc}=\frac{x+z}{ac}=\frac{x+y}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{bc}{y+z}=\frac{ac}{x+z}=\frac{ab}{x+y}\)

Đặt \(\frac{bc}{y+z}=\frac{ac}{x+z}=\frac{ab}{x+y}=k\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}bc=k\left(y+z\right)=ky+kz\\ac=k\left(x+z\right)=kx+kz\\ab=k\left(x+y\right)=kx+ky\end{matrix}\right.\) (1)

Gỉa sử điều cần chứng minh là đúng ta có

\(\frac{y-z}{a\left(b-c\right)}=\frac{z-x}{b\left(c-a\right)}=\frac{x-y}{c\left(a-b\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y-z}{ab-ac}=\frac{z-x}{bc-ab}=\frac{x-y}{ac-bc}\)

Thế (1) vào biểu thức

\(\frac{y-z}{kx+ky-\left(kx+kz\right)}=\frac{z-x}{ky+kz-\left(kx+ky\right)}=\frac{x-y}{kx+kz-\left(ky+kz\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y-z}{ky-kz}=\frac{z-x}{kz-kx}=\frac{x-y}{kx-ky}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y-z}{k\left(y-z\right)}=\frac{z-x}{k\left(z-x\right)}=\frac{x-y}{k\left(x-y\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{k}=\frac{1}{k}=\frac{1}{k}\) ( điều này luôn luôn đúng )

\(\Rightarrow\) ĐPCM