Chứng minh CI^2=(BC-AB)^2+AC^2/2

Bài giải :

Gọi E,D,F lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC,AB,AC.

Vì I là giao điểm các đường phân giác trong tam giác ABC nên : ID = IE = IF = x

- Ta có : Tam giác ADI vuông tại D có góc DAI = \(45^0\)

⇒ Tam giác ADI vuông cân tại D .

hay AD = ID = x

- Xét hai tam giác vuông AID và tam giác vuông AIF có :

Tam giác vuông AID = Tam giác vuông AIF ( cạnh huyền-góc nhọn )

⇒AD = AF = x

Vậy ID = IE =IF = AD = AF = x

Xét hai tam giác vuông BEI và tam giác vuông BDI có :

Tam giác vuông BDI = tam giác vuông BEI ( cạnh huyền - góc nhọn)

nên BD = BE = y

- Tương tự ta có : tam giác vuông CIE = tam giác vuông CIF

nên CE = CF = z

Ta có :

\(CI^2=CE^2+IE^2=z^2+x^2\left(1\right)\)

Mà : \(\dfrac{\left(BC-AB\right)^2+AC^2}{2}=\dfrac{\left[\left(y+z\right)^2-\left(x+y\right)^2\right]+\left(x+z\right)^2}{2}=\dfrac{\left(z-x\right)^2+\left(x+z\right)^2}{2}=\dfrac{2x^2+2z^2}{2}=x^2+z^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có đpcm .