Chứng minh AK vuông góc EC biết tam giác ABC có AB < AC, trên cạnh AC lấy điểm D

a) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ADM có:

AB = AD (gt)

AM chung

BM = DM (suy từ gt)

=> \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)ADM (c.c.c)

b) Vì \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)ADM (câu a)

=> \(\widehat{BAM}\) = \(\widehat{DAM}\) (2 góc t/ư)

hay \(\widehat{BAK}\) = \(\widehat{DAK}\)

Xét \(\Delta\)ABK và \(\Delta\)ADK có:

AB = AD (gt)

\(\widehat{BAK}\) = \(\widehat{DAK}\) (c/m trên)

AK chung

=> \(\Delta\)ABK = \(\Delta\)ADK (c.g.c)

=> BK = DK (2 cạnh tương ứng)

Do đó \(\Delta\)BKD cân tại K

c) Do \(\Delta\)ABK = \(\Delta\)ADK (câu b)

nên \(\widehat{ABK}\) = \(\widehat{ADK}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{ABK}\) + \(\widehat{EBK}\) = 180^o (kề bù)

\(\widehat{ADK}\) + \(\widehat{CDK}\) = 180^o (kề bù)

mà \(\widehat{ABK}\) = \(\widehat{ADK}\) nên \(\widehat{EBK}\) = \(\widehat{CDK}\)

Xét \(\Delta\)EBK và \(\Delta\)CDK có:

EB = CD (gt)

\(\widehat{EBK}\) = \(\widehat{CDK}\) (c/m trên)

BK = DK (c/m trên)

=> \(\Delta\)EBK = \(\Delta\)CDK (c.g.c)

=> \(\widehat{BKE}\) = \(\widehat{DKC}\) (2 góc tương ứng) (1)

mà \(\widehat{BKD}\) + \(\widehat{DKC}\) = 180^o (2)

Thay (1) vào (20 ta được:

\(\widehat{BKE}\) + \(\widehat{DKC}\) = 180^o

mà 2 góc này kề nhau nên E, K, D thẳng hàng

d) Gọi giao điểm của AK và EC là F

Vì \(\Delta\)ABK = \(\Delta\)ADK (c/m trên)

nên \(\widehat{BAK}\) = \(\widehat{DAK}\) (2 góc tương ứng)

hay \(\widehat{EAF}\) = \(\widehat{CAF}\)

Do \(\Delta\)EBK = \(\Delta\)CDK nên EB = CD ( 2 cạnh tương ứng)

Lại có: AB + EB = AE

AD + CD = AC

mà AB = AD; EB = CD nên AE = AC

Xét \(\Delta\)EAF và \(\Delta\)CAF có:

EA = CA (c/m trên)

\(\widehat{EAF}\) = \(\widehat{CAF}\) (c/m trên)

AF chung

=> \(\Delta\)EAF = \(\Delta\)CAF (c.g.c)

=> \(\widehat{AFE}\) = \(\widehat{AFC}\) (2 góc tương ứng)

mà \(\widehat{AFE}\) + \(\widehat{AFC}\) = 180^o (kề bù)

=> \(\widehat{AFE}\) = \(\widehat{AFC}\) = \(\frac{180^o}{2}\) = 90^o

Do đó AK \(\perp\) EC.