Chứng minh AE//FC biết tam giác ABC vuông tại A có F là giao điểm của AB và DE

a) Xét \(\Delta ABD;\Delta EBD\) vuông tại \(A;E\) có:

\(BD\) là cạnh chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) (suy từ gt)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta EBD\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AB=EB\)

\(\Rightarrow\Delta ABE\) cân tại B

mà \(BD\) là tia pg của \(\widehat{ABE}\)

\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của AE.

b) Vì \(\Delta ABD=\Delta EBD\)

nên \(AD=ED\)

Xét \(\Delta ADF;\Delta EDC\) vuông tại A; E có:

\(AD=ED\) (c/m trên)

\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\left(đ^2\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADF=\Delta EDC\left(cgv-gn\right)\)

\(\Rightarrow DF=DC.\)

c) Ta có: \(ED< DC\) (đường xiên - hình chiếu)

mà \(AD=ED\left(b\right)\)

\(\Rightarrow AD< DC.\)

d) Do \(\Delta ADF=\Delta EDC\left(b\right)\)

\(\Rightarrow AF=EC\)

Lại có: \(AB+AF=BE+EC\)

\(\Rightarrow BF=BC\)

\(\Rightarrow\Delta BFC\) cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{BCF}\)

Áp dụng t.c tổng 3 góc trog 1 tg ta có:

\(\widehat{BFC}+\widehat{BCF}+\widehat{FBC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=\dfrac{180^o-\widehat{FBC}}{2}\left(1\right)\) (Đoạn này hơi tắt )

Tương tự: \(\widehat{BAE}=\dfrac{180^o-\widehat{FBC}}{2}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{BAE}.\)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên \(AE\) // \(FC.\)