Chứng minh A, K, I thẳng hàng biết tam giác ABC cân tại A có góc A < 90 độ

Tự vẽ hình.

a) Vì \(\Delta\)ABC cân tại A

=> AB = AC và \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)

hay \(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{DCB}\)

Xét \(\Delta\)BCE và \(\Delta\)CBD có:

BC chug

\(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{DCB}\) (c/m trên)

=> \(\Delta\)BCE = \(\Delta\)CBD (ch - gn)

b) Vì \(\Delta\)BCE = \(\Delta\)CBD (câu a)

=> BE = CD (2 cạnh t/ư)

Ta có: AE + BE = AB

AD + CD = AC

mà BE = CD; AB = AC

=> AE = AD

Xét \(\Delta\)AEC và \(\Delta\)ADB có:

AE = AD (c/m trên)

\(\widehat{A}\) chug

AC = AB

=> \(\Delta\)AEC = \(\Delta\)ADB (c.g.c)

=> \(\widehat{ACE}\) = \(\widehat{ABD}\) (2 góc t/ư)

hay \(\widehat{DCK}\) = \(\widehat{EBK}\)

Xét \(\Delta\)BEK và \(\Delta\)CDK có:

\(\widehat{BEK}\) = \(\widehat{CDK}\) (= 90^o)

BE = CD (c/m trên)

\(\widehat{DCK}\) = \(\widehat{EBK}\) (c/m trên)

=> .........

c) Do \(\Delta\)BEK = \(\Delta\)CDK (câu b)

=> EK = DK (2 cạnh t/ư)

Xét \(\Delta\)AEK và \(\Delta\)ADK có:

AE = AD (câu b)

AK chung

EK = DK (c/m trên)

=> \(\Delta\)AEK = \(\Delta\)ADK (c.c.c)

=> \(\widehat{EAK}\) = \(\widehat{DAK}\) (2 góc t/ư)

Do đó AK là tia pg của \(\widehat{BAC}\).

d) Xét \(\Delta\)ABI và \(\Delta\)ACI có:

AB = AC (câu a)

AI chung

BI = CI (suy từ gt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta ABI=\Delta ACI\) (c.c.c)

=> \(\widehat{BIA}\) = \(\widehat{CIA}\) (2 góc t/ư)

Do đó IA là tia pg của \(\widehat{BIC}\) (1)

Lại có AK là tia pg của \(\widehat{BAC}\) (2)