YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}.\)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(9(a^{4}+b^{4}+c^{4})-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+48=0.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}.\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (2)

  • Cách 1: GT \(\Leftrightarrow 25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+48=9(a^{4}+b^{4}+c^{4})\) kết hợp với đẳng thức \(a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\) từ đó suy ra: \(25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+48\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\Leftrightarrow 3\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \frac{16}{3}\)

    Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: \(\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{(b+2c)a^{2}}{9}\geq \frac{2a^{2}}{3}\)

    \(\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{(c+2a)b^{2}}{9}\geq \frac{2b^{2}}{3},\frac{c^{2}}{a+2b}+\frac{(a+2b)c^{2}}{9}\geq \frac{2c^{2}}{3}.\)

    Khi đó \(P\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{1}{9}\left [ a^{2}(b+2c)+b^{2}(c+2a)+c^{2}(a+2b) \right ]\)

    Mà \(a^{2}c+c^{2}b+b^{2}a\leq \frac{a^{3}+a^{3}+c^{3}}{3}+\frac{c^{3}+c^{3}+b^{3}}{3}+\frac{b^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}\)

    Suy ra: \(a^{2}(b+2c)+b^{2}(c+2a)+c^{2}(a+2b)\leq a^{3}+a^{2}b+a^{2}c+b^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{3}+c^{2}b+c^{2}a=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\)

    Từ đó \(P\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\)

    Đặt \(t=\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\Rightarrow 3\leq t\leq 4\)

    Cho nên \(P\geq -\frac{1}{27}t^{3}+\frac{2}{9}t^{2}=f(t),t\in \left [ 3;4 \right ]\)

    Xét hàm số \(f(t)=-\frac{1}{27}t^{3}+\frac{2}{9}t^{2},\forall t\in \left [ 3;4 \right ]\Rightarrow f'(t)=-\frac{t^{2}}{9}+\frac{4t}{9}=\frac{t(4-t)}{9}\geq 0\; \forall t\in \left [ 3;4 \right ]\)

    \(\Rightarrow min_{t\in \left [ 3;4 \right ]}f(t)=f(3)=2.\frac{3^{2}}{9}-\frac{3^{3}}{27}=1\Rightarrow minP=min_{t\in \left [ 3;4 \right ]}f(t)=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)

    Cách 2: Ta có \(14x+2\geq 25x^{2}-9x^{4}(*),\forall x>0,"="\Leftrightarrow x=1\) thật vậy \((*)\Leftrightarrow 9x^{4}-25x^{2}+14x+2\geq 0\Leftrightarrow (x-1)^{2}(9x^{2}+18x+2)\geq 0\) luôn đúng. Vậy \(\left\{\begin{matrix} 14a+2\geq 25a^{2}-9a^{4}\\14b+2\geq 25b^{2}-9b^{4} \\14c+2\geq 25c^{2}-9c^{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow 14(a+b+c)\geq 25(a^{2}+b^{2}+c^{2})-9(a^{4}+b^{4}+c^{4})=48\)

    \(\Rightarrow a+b+c\geq 3,\) dấu bằng \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

    \(P=\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{3}\geq 1\)

    Dấu bằng ⇔ a = b = c = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 ⇔ a = b = c = 1

      bởi Bo Bo 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF