Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE

Hình vẽ:

1) Ta có EF là đường trung bình của ΔBCH nên \(2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CB}\)

Mặt khác: \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{GA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GA}\)

A (x; y) ta có: \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GA}\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-1=0 \\y-5=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow A(1;1)\)

2) Do EF // BC, AH ⊥ BC nên EF ⊥AB,

Từ giả thiết ta có: BH ⊥AC

=>E là trực tâm của ΔABE. Khi đó B là giao điểm của đường thẳng BH với đường thẳng đi qua A vuông góc với EF.

Ta có: \(\overrightarrow{EF}(0;-4)\) nên đường thẳng đi qua A vuông góc với EF có phương trình:

\(0(x-1)-4(y-1)=0\)

\(\Leftrightarrow y=1\)

Phương trình đường thẳng BH vuông góc với AE là:

\(\frac{12}{5}(x-\frac{17}{5})+\frac{24}{5}(y-\frac{9}{5})=0\)

\(\Leftrightarrow x+3y-7=0\)

Vậy tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT:

\(\left\{\begin{matrix}y=1 \\x+2y-7=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow B(5;1)\)

Gọi O (x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABE; kẻ đường kính EK.

Ta có tứ giác AKBF là hình bình hành, khi đó 2 đường chéo KF và AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ta có I (3; 1)

Mặt khác O là trung điểm của EK, suy ra IO là đường trung bình của ΔEFK

Hay \(\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3-x=0 \\1-y=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0(3;3)\)

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABE là O (3; 3)