Tìm các điểm thuộc trục Oy để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox

- Gọi M(0;m) thuộc Oy
- Đường thẳng (\(\Delta\)) qua M có dạng y = kx + m
- (\(\Delta\)) tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x+1}{x-2} =kx+m \ \ (1) \\ \frac{-3}{(x-2)^2}=k \ (2) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\) có nghiệm
- Thế (2) và (1) ta có: \(\frac{x+1}{x-2}=\frac{-3x}{(x-2)^2}+m\)
\(\Leftrightarrow f(x)=(1-m)x^2+(4m+2)x-2-4m=0 \ \ \ (3) \ \ (x\neq 2)\)
- Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt với (C) \(\Leftrightarrow\) pt (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 1\\ (2m+1)^2+(1-m)(2+4m)> 0\\ f(2)\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 1\\ 6m+3> 0\\ 6\neq 0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 1\\ m> -\frac{1}{2} \end{matrix}\right. \ \ (*)\)
Gọi x₁, x₂ là nghiệm pt (3) , tọa độ các tiếp điểm là \((x_1;y_1),(x_2;y_2)\) và \(y_1=\frac{x_1+1}{x_1-2}; y_2=\frac{x_2+1}{x_2-2}\)
Theo Viet \(x_1+x_2=\frac{4m+2}{m-1};x_1.x_2=\frac{2+4m}{m-1}\)
- Hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox \(\Leftrightarrow y_1.y_2< 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{x_1+1}{x_1-2}.\frac{x_2+1}{x_2-2}<0\Leftrightarrow \frac{x_1.x_2+x_1+x_2+1}{x_1.x_2-2(x_1+x_2)+4}< 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\frac{2+4m}{m-1}+\frac{4m+2}{m-1}+1}{\frac{2+4m}{m-1}.\frac{4m+2}{m-1}+4}< 0\Leftrightarrow \frac{3+9m}{-6}< 0\Leftrightarrow m> -\frac{1}{3}\)
- So với điều kiện (*), ta có giá trị cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} m>-\frac{1}{3}\\ m\neq 1 \end{matrix}\right.\)