YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Xét các số thực \(a\) thay đổi thỏa mãn \(\left| a \right|\le 2\) và \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-az+1=0\). Gọi \(A\left( \frac{7}{2};2 \right)\) và \(M\), \(N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\). Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(AMN\) bằng

    • A. \(\frac{7}{2}\).          
    • B. \(\frac{9\sqrt{3}}{4}\).         
    • C. \(\frac{15\sqrt{15}}{16}\).                                
    • D. \(2\sqrt{3}\).

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    Chọn C

    Phương trình \({{z}^{2}}-az+1=0\) có \(\Delta ={{a}^{2}}-4\le 0\) (vì \(\left| a \right|\le 2\)) nên có hai nghiệm phức liên hợp \({{z}_{1}}=b+ci\); \({{z}_{2}}=b-ci\) (giả sử \(c>0\)).

    Ta có

    \(\left\{ \begin{align} & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=a \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=1 \\ \end{align} \right.\)

    nên \(b=\frac{a}{2}\) và \({{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{a}^{2}}-4={{i}^{2}}\left( 4-{{a}^{2}} \right)\).

    Do đó \({{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2ci=i\sqrt{4-{{a}^{2}}}\)\( \Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2c\)\( =\sqrt{4-{{a}^{2}}}\).

    Khi đó \({{S}_{AMN}}=\frac{1}{2}\left( \frac{7}{2}-b \right).2c\)\( =\frac{1}{4}\left( 7-a \right).\sqrt{4-{{a}^{2}}}\).

    Xét \(f\left( a \right)=\left( 7-a \right)\sqrt{4-{{a}^{2}}}\), với \(-2\le a\le 2\); có \({f}'\left( a \right)=-\sqrt{4-{{a}^{2}}}+\left( 7-a \right)\frac{-a}{\sqrt{4-{{a}^{2}}}}\).

    \({f}'\left( a \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{4-{{a}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}-7a}{\sqrt{4-{{a}^{2}}}}\), (điều kiện \(a<0\))

    \(\Leftrightarrow 4-{{a}^{2}}={{a}^{2}}-7a\\ \Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-7a-4=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=4 \\ & a=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\)

    So với điều kiện ta nhận \(a=-\frac{1}{2}\). Khi đó ta có

    \(f\left( -2 \right)=0\); \(f\left( 2 \right)=0\); \(f\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{15\sqrt{15}}{4}\).

    Suy ra \(\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\)\( =f\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{15\sqrt{15}}{4}\)\( \Rightarrow \max {{S}_{AMN}}=\frac{1}{4}.\frac{15\sqrt{15}}{4}=\frac{15\sqrt{15}}{16}\).

    Vậy diện tích lớn nhất của tam giác \(AMN\) là \(\frac{15\sqrt{15}}{16}\).

    ATNETWORK

Mã câu hỏi: 442510

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON