Phương trình \(\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Điều kiện xác định:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 4{\log _8}x \ge 0\\ 2021 + {\log _8}x \ge 0\\ x > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \ge 1 \end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sqrt {2021 + {{\log }_8}x} - \sqrt {4{{\log }_8}x} = {\log _2}x - 2021\\ \Leftrightarrow \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} - \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} = {\log _2}x - 2021\\ \Leftrightarrow \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} - \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} = \frac{4}{3}{\log _2}x - \left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x + 2021} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x + 2021} \right) + \sqrt {2021 + \frac{1}{3}{{\log }_2}x} = \frac{4}{3}{\log _2}x + \sqrt {\frac{4}{3}{{\log }_2}x} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2) \end{array}\)

Xét hàm số \(f(t)={{t}^{2}}+t\) với \(t\ge 0\).

Vì \(f'(t)=2t+1>0,\,\forall t\ge 0\) nên \(f(t)={{t}^{2}}+t\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;+\infty  \right)\). Từ (2) ta có

\(f\left( \sqrt{2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x} \right)\)\( =f\left( \sqrt{\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x} \right)\).

Suy ra

\(\sqrt{2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x}\)\( =\sqrt{\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x}\)\( \Leftrightarrow 2021+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=\frac{4}{3}{{\log }_{2}}x\)\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=2021\)\( \Leftrightarrow x={{2}^{2021}}\) (t/m)

Vậy phương trình có \(1\) nghiệm nguyên.