Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm là \({f}'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+9x \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right),\)với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

Ta có: \(g\left( x \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\frac{3x\left( {{x}^{2}}+3 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{\left| {{x}^{3}}+3x \right|}.{f}'\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)\)

Dễ thấy \({g}'\left( x \right)\) không xác định tại \(x=0\) và khi qua \(x=0\) thì \({g}'\left( x \right)\) đổi dấu nên \(x=0\) là một điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)\).

Để \(g\left( x \right)\) có không quá \(6\) điểm cực trị thì phương trình \({f}'\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=0\) có thể có tối đa \(5\) nghiệm bội lẻ khác \(x=0\).

Có: \({f}'\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=0 \\

 & \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=-9 \\

 & \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=-3 \\

 & \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}}=3 \\

\end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m \\

 & \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m-9 \\

 & \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m-3 \\

 & \left| {{x}^{3}}+3x \right|={{m}^{2}}-2m+3 \\

\end{align} \right.\)

Dựa vào hình ảnh đồ thị hàm số \(\left| {{x}^{3}}+3x \right|\):

Để \(g\left( x \right)\) có không quá \(6\) điểm cực trị thì: \({{m}^{2}}-2m-3\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 3\)

Vậy có \(5\) giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn.