Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0

Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu.

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} IA = IB\\ IA = IC\\ I \in \left( P \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\ {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\ a + b - 2c + 4 = 0 \end{array} \right. \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a - 6c = - 6\\ 8a + 8b = 0\\ a + b - 2c + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 1\\ c = 2 \end{array} \right.\)

Vậy I(1;-1;2) và bán kính R=IA=3.

Vậy phương trình của mặt cầu là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9.\)