Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M và N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN

Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I, điểm M, N và cắt d tại H.

Khi đó IH chính bằng khoảng cách từ điểm I(1;2;1) đến đường thẳng d.

Điểm \(K\left( {2;0;0} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {IK} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \left( {2; - 1;4} \right)\)  

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {IK} ;\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&{ - 1}\\ { - 1}&4 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 4&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}\\ 2&{ - 1} \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 9; - 6;3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IK} ;\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right|}} = \frac{{\sqrt {126} }}{{\sqrt {21} }} = \sqrt 6 \\ \Rightarrow IH = \sqrt 6 ,IM = IN = R = \sqrt 2 \end{array}\)

Gọi O là trung điểm của \(MN \Rightarrow MO = \frac{{MH.MI}}{{IH}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow MN = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\)