Viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (P) biết mặt phẳng (P) chứa A(2;1;3) và d:x-1/2=y-2/-1=z/1

Điểm \(M\left( {1;2;0} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( { - 1;1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \left( {2; - 2;1} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {2;5;1} \right).\) 

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}\) làm vectơ pháp tuyến là: \(2x + 5y + z - 12 = 0.\)   

Khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P) là \(d = \frac{{\left| {2.0 + 5.0 + 0 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {1^2}} }} = \frac{{12}}{{5\sqrt 6 }}\)  

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{24}}{5}.\)