Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x-2y+z-1=0\), \(\left( Q \right):\,\,x-2y+z+8=0\) và \(\left( R \right):\,\,x-2y+z-4=0\). Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) lần lượt tại A, B, C. Đặt \(T=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{144}{AC}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).

Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x-2y+z-1=0\), \(\left( Q \right):\,\,x-2y+z+8=0\) và \(\left( R \right):\,\,x-2y+z-4=0\). Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) lần lượt tại A, B, C. Đặt \(T=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{144}{AC}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).
- A. \(\min T=108\)
- B. \(\min T=54\sqrt[3]{2}\)
- C. \(\min T=96\)
- D. \(\min T=72\sqrt[3]{2}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Dễ dàng thấy 3 mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) song song với nhau và (P) nằm giữa (Q) và (R), ta tính được \(d\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=BH=9;\,\,d\left( \left( P \right);\left( R \right) \right)=HK=3\)

Ta có:

\(\begin{align}& T=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{144}{AC}=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{72}{AC}+\frac{72}{AC} \\ & \overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,3\sqrt[3]{\frac{A{{B}^{2}}}{4}.\frac{72}{AC}.\frac{72}{AC}}=3\sqrt[3]{1296.{{\left( \frac{AB}{AC} \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)

Theo định lí Ta-let ta có :

\(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{HK}=3\Rightarrow T\overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,3\sqrt[3]{{{1296.3}^{2}}}=54\sqrt[3]{2}\)

Vậy \(\min T=54\sqrt[3]{2}\).

Chọn B.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE