Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu có phương trình là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4\) và \({{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\). Gọi M là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và \(X,\text{ }Y,\text{ }Z\) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ M đến ba mặt cầu sao cho MX=MY=MZ. Khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng d cố định. Hỏi d vuông góc với mặt phẳng nào?

Gọi tọa độ điểm M là \(\left( a;b;c \right)\).

Mặt cầu \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\) có tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\), bán kính \({{R}_{1}}=1\) và MX là tiếp tuyến với mặt cầu nên \(M{{X}^{2}}=M{{O}^{2}}-{{r}_{1}}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1\).

Tương tự, ta có \(M{{Y}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}-4\) và \(M{{Z}^{2}}={{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}}-16\).

Theo đề, MX=MY=MZ nên \(M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}}\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} - 1 = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} - 4\\ {a^2} + {b^2} + {c^2} - 1 = {\left( {a + 4} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} - 16 \end{array} \right..\)

Rút gọn ta được \(\left\{ \begin{array}{l} 2a + b - 2c - 3 = 0\\ 4a - 3c + 5 = 0 \end{array} \right.\)

Từ đó, M thuộc đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha\right):2x+y-2z-3=0\) và \(\left( \beta\right):4x-3z+5=0\).

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha\right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta\right)}}} \right]=\left( -3;-2;-4 \right)\).

Do đó, d vuông góc với mặt phẳng \(\left( {{P}_{2}} \right):3x+2y+4z=2020.\)