Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(10;2 - 1) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\).

Cách 1: Tự luận

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d. Gọi (P) là mặt phẳng qua A có VTPT là \(\overrightarrow {AH} \). Gọi K là hình chiếu của H trên mặt phẳng (Q) bất kỳ qua A và song song với d.

Ta có \(d\left( {d,\left( P \right)} \right) = AH \ge d\left( {d,\left( Q \right)} \right) = HK\). Suy ra mặt phẳng (P) là mặt phẳng cần tìm.

Tìm điểm \(H \in d \Rightarrow H = \left( {1 + 2t;t;1 + 3t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {2t - 9;t - 2;3t + 2} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_d}}  = 2\left( {2t - 9} \right) + t - 2 + 3\left( {3t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( { - 7; - 1;5} \right)\).

Suy ra mặt phẳng \(\left( P \right):7x + y - 5z - 77 = 0\)

Cách 2: Theo hướng trắc nghiệm.

 Đường thẳng (d) qua \({M_0}\left( {1;0;1} \right),\) có \(VTCP{\rm{ }}\overrightarrow u  = \left( {2;1;3} \right)\); Điểm A(10;2;- 1).

Thử 4 đáp án với ý điểm A(10;2;- 1) thuộc mặt phẳng ta loại đáp án C, D.

Tiếp theo với ý mặt phẳng \(\left( P \right)\parallel d \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\) loại đáp án B.

Ta chọn đáp án A.

Nhận xét cho đáp án nhiễu không tốt.