Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1).

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a, b, c>0\). Theo đề bài ta có : \(\frac{8}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\). Cần tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2} + {c^2}\).

Ta có

Mặt khác \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {4 + 1 + 1} \right) \ge {\left( {a.2 + b.1 + c.1} \right)^2} \Rightarrow 6.\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {2a + b + c} \right)^2} \)

\(\begin{array}{c}
\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {4 + 1 + 1} \right)}  \ge \left( {a.2 + b.1 + c.1} \right)\\
 \ge \left( {2a + b + c} \right)\left( {\frac{8}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\\
 \ge {\left( {4 + 1 + 1} \right)^2} = 36
\end{array}\)

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {6^3}\). Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{{{a^2}}}{4} = {b^2} = {c^2} \Rightarrow a = 2b = 2c.\)

Vậy \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi \(a = 12,b = c = 6\).

Vậy phương trình mặt phẳng là : \(\frac{x}{{12}} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1\) hay \(x + 2y + 2z - 12 = 0\).