Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) biết \(A\left( 0\,;0\,;0 \right)\), \(B\left( 1\,;0\,;0 \right)\), \(D\left( 0\,;1\,;0 \right)\) và \({{A}_{1}}\left( 0\,;0\,;1 \right)\). Gọi \(\left( P \right)\text{:}\,\,ax+by+cz-3=0\) là phương trình mặt phẳng chứa \(C{{D}_{1}}\) và tạo với mặt phẳng \(\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)\) một góc có số đo nhỏ nhất. Giá trị của \(T=a+b+c\) bằng?

Dễ dàng xác định được tọa độ một số đỉnh của hình lập phương như sau: \(C\left( 1\,;1\,;0 \right)\), \({{D}_{1}}\left( 0\,;1\,;1 \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(C\), \({{D}_{1}}\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{align} & a+b-3=0 \\ & b+c-3=0 \\ \end{align} \right.\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( a\,;b\,;c \right)\).

Mặt phẳng \(\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{AC}=\left( 1;1;0 \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)\). Vì \(0{}^\circ \le \alpha \le 90{}^\circ \) nên \(\alpha \) nhỏ nhất khi \(\cos \alpha \) lớn nhất.

Ta có: \(\cos \alpha \)\( =\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{AC} \right) \right|\)\( =\frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}\)\(=\frac{\left| a+b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{2}}\)

\(=\frac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{{{\left( 3-b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 3-b \right)}^{2}}}}\)\(=\frac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{3{{\left( b-2 \right)}^{2}}+6}}\)\(\le \frac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{6}}\)\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi \(b=2\).

Suy ra \(\alpha \) nhỏ nhất bằng \(30{}^\circ \) khi \(b=2\); \(a=1\); \(c=1\).

Vậy \(T=a+b+c=4\).

Chọn C