Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(C\left( -1;2;11 \right),H(-1;2;-1)\), hình nón \(\left( N \right)\) có đường cao CH=h và bán kính đáy là \(R=3\sqrt{2}\). Gọi M là điểm trên đoạn CH,\(\left( C \right)\) là thiết diện của mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với trục CH tại M của hình nón \(\left( N \right)\,.\) Gọi \(\left( {{N}'} \right)\,\) là khối nón có đỉnh H đáy là \(\left( C \right)\). Khi thể tích khối nón \(\left( {{N}'} \right)\,\) lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón \(\left( {{N}'} \right)\,\) có tọa độ tâm \(I\left( a;b,c \right),\) bán kính là d. Giá trị a+b+c+d bằng

Đặt HM=x, 0<x<h. Gọi I,R,r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đáy của nón (N), bán kính đường tròn \(\left( C \right).\) Khi đó ta có CH=h=12 là chiều cao của \((N),R=3\sqrt{2}\).

Khi đó \(C,\,I,\,H\) thẳng hàng (I nằm giữa C,H).

Do tam giác \(\Delta CEM\backsim \Delta CQH\) nên \(\frac{EM}{QH}=\frac{CM}{CH}\Leftrightarrow EM=\frac{QH.CM}{CH}\Leftrightarrow r=EM=FM=\frac{R\left( h-x \right)}{h}\)

Thể tích của khối nón đỉnh O đáy là \(\left( C \right)\) là

\(V=\frac{1}{3}\pi E{{M}^{2}}.HM=\frac{1}{3}\pi {{\left[ \frac{R\left( h-x \right)}{h} \right]}^{2}}x=\frac{1}{3}\pi \frac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{\left( h-x \right)}^{2}}x\).

Ta có Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{3}\pi \frac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{\left( h-x \right)}^{2}}x, \left( 0<x<h \right)\)

\({f}'\left( x \right)=\frac{1}{3}\pi \frac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}\left( h-x \right)\left( h-3x \right); {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi \frac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}\left( h-x \right)\left( h-3x \right)\Leftrightarrow x=\frac{h}{3}\).

Lập bảng biến thiên ta có

Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh O đáy là \(\left( C \right)\) lớn nhất khi \(x=\frac{h}{3}\)

Khi đó \(HM=x=\frac{h}{3}=4, r=\frac{R.CM}{h}=\frac{R.(h-x)}{h}=2\sqrt{2}=MF\)

Gọi P là giao điểm của HM với mặt cầu ngoại tiếp nón \(\left( {{N}'} \right)\,.\) Ta có \(\Delta HFP\) vuông tại F\(\Rightarrow H{{F}^{2}}=HM.HP\)

\(\Leftrightarrow H{{M}^{2}}+M{{F}^{2}}=HM.HP\Leftrightarrow 16+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=4.HP\Rightarrow HP=6\)

\(\Rightarrow d=HI=3=\frac{1}{4}HC\Rightarrow \overrightarrow{HI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{HC}\Rightarrow I(-1;2;2)\).

Vậy a+b+c+d=6