Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với m>1 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn: \({{\left( {{m}^{{{\log }_{5}}x}}+3 \right)}^{{{\log }_{5}}m}}=x-3\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Điều kiện:x>0

Đặt \({{m}^{{{\log }_{5}}x}}+3=u\) thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được: \({{u}^{{{\log }_{5}}m}}=x-3\Leftrightarrow x={{u}^{{{\log }_{5}}m}}+3\).

Vì \({{u}^{{{\log }_{5}}m}}={{m}^{{{\log }_{5}}u}}\). Từ đó ta có hệ Phương trình \(\left\{ \begin{matrix} u={{m}^{{{\log }_{5}}x}}+3 \\ x={{u}^{{{\log }_{5}}m}}+3 \\ \end{matrix} \right.\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right)={{m}^{t}}+3\) trên \(\mathbb{R}\)

Do m>1. Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Do đó, \(f\left( {{\log }_{5}}x \right)=f\left( {{\log }_{5}}u \right)\Leftrightarrow x=u\)

Vì thế, ta đưa về xét phương trình: \(x={{m}^{{{\log }_{5}}x}}+3\Leftrightarrow x={{x}^{{{\log }_{5}}m}}+3\Leftrightarrow x-3={{x}^{{{\log }_{5}}m}}\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-3 \right)={{\log }_{5}}\left( {{x}^{{{\log }_{5}}m}} \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-3 \right)={{\log }_{5}}x.{{\log }_{5}}m\Leftrightarrow {{\log }_{5}}m=\frac{{{\log }_{5}}\left( x-3 \right)}{{{\log }_{5}}x}\)

Do x>0 nên x-3<x nên \({{\log }_{5}}m=\frac{{{\log }_{5}}\left( x-3 \right)}{{{\log }_{5}}x}<1\Leftrightarrow m<5\).

Suy ra \(\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z} \\ 1<m<5 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 2,3,4 \right\}\)

Vậy, có 3 giá trị tham số m thỏa mãn.