Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-2x+1-2\left| x-m \right|}}={{\log }_{{{x}^{2}}-2x+3}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt là

Phương trình tương đương \({{3}^{{{x}^{2}}-2x+3-\left( 2\left| x-m \right|+2 \right)}}=\frac{\ln \left( 2\left| x-m \right|+2 \right)}{\ln \left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}.\)

\(\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-2x+3}}.\ln \left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)={{3}^{2\left| x-m \right|+2}}.\ln \left( 2\left| x-m \right|+2 \right)\left( * \right).\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln t,t\ge 2\) là hàm số đồng biến nên từ phương trình \(\left( * \right)\) suy ra

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+3=2\left| x-m \right|+2\Leftrightarrow g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-2\left| x-m \right|+1=0.\)

Có \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4x + 2m + 2{\rm{ khi }}x \ge m\\ {x^2} - 2m + 1{\rm{ khi }}x \le m \end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2x - 4{\rm{ khi }}x \ge m\\ 2x{\rm{ khi }}x \le m \end{array} \right.\)

Và \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2{\rm{ khi }}x \ge m\\ x = 0{\rm{ khi }}x \le m \end{array} \right.\)

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(m\le 0\) ta có bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) như sau:

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có m thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(m\ge 2\) tương tự.

Trường hợp 3: 0<m<2, bảng biến thiên \(g\left( x \right)\) như sau:

Phương trình có 3 nghiệm khi \(\left[ \begin{array}{l} {\left( {m - 1} \right)^2} = 0\\ - 2m + 1 = 0 > 2m - 3\\ - 2m + 1 < 0 = 2m - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = \frac{1}{2}\\ m = \frac{3}{2} \end{array} \right..\)