Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4 dm3

Gọi cạnh đáy là a, chiều cao là h.

Diện tích đáy là: a2.

Diện tích xung quanh là: 4ah

Ta có:\(V = {a^2}h = 4 \Rightarrow ah = \frac{4}{a}(*)\)

Lượng vàng cần phải dùng là: \({a^2} + 4ah = {a^2} + \frac{{16}}{a}\)

Xét hàm số \(f(a) = {a^2} + \frac{{16}}{a},a > 0\) 

Ta có: \(f'(a) = 2a - \frac{{16}}{{{a^2}}}\) 

\(f'(a) = 0 \Leftrightarrow 2a - \frac{{16}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{a^3} - 16}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = 2\)

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(a) đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2, thay vào (*) suy ra h=1.