Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = - {x^3} + 3{m^2}x có hai điểm cực trị A và B sao cho AB = 2sqrt 5

Ta có: \(y' = \left( { - {x^3} + 3{m^2}x} \right)' =  - 3{x^2} + 3{m^2} =  - 3\left( {{x^2} - {m^2}} \right).\)

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi PT \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt suy ra \(m \ne 0.\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {m;2{m^3}} \right)\\B\left( { - m; - 2{m^3}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}}  = 2\sqrt 5  \Rightarrow {m^2} + 4{m^6} = 5 \Rightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1.\)